不等式“ex≥x+1”的妙用

湖北省宜城市第一中学 吴庆丰

高中数学中，导数作为大学的重要知识衔接点，在高考中是必考的重点知识，也是难点知识，在高考考纲中是必考专题，在小题和大题中均有所考查，并且考法多种多样，特别是大题的压轴题，基本上是以导数作为切入点，来解决高中数学问题，比如函数的性质、不等式、数列等.

利用导数知识解决不等式问题是常考的知识，在很多高考题和高考模拟题中，往往与不等式ex≥x+1有关.

一、结论的呈现与拓展

1.不等式

当x∈R时，恒有ex≥x+1.

结论证明：利用构造函数方法，根据导数知识应用可以证明，设f（x）=ex-（x+1）⇒f′（x）=ex-1，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；当x∈（-∞，0）时，f ′（x）＜0，则f（x）在（-∞，0）上单调递减.所以f（x）≥f（0）=0，即ex≥x+1.

2.由ex≥x+1拓展到类似结论不等式

（1）当x∈（-1，+∞）时，恒有ln（x+1）≤x；

（2）当x∈（0，+∞）时，恒有lnx≤x-1；

说明：（1）、（2）两式可通过构造函数进行证明，也可利用ex≥x+1结论两边取自然对数；（3）可利用（2）的结论，把x替换为即可证明.

二、案例分析

例1 已知函数f（x）=lnx-x+1.

（Ⅰ）求函数f（x）的最值；

（Ⅱ）当n∈N*，证明

解析：（Ⅰ）f（x）max=f（1）=0，无f（x）min.过程略.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知lnx-x+1≤0⇒lnx≤x-1（前面结论），可变形为ln（x+1）≤x（当且仅当x=0时取等号）.

点评：本题用导数基本知识解决函数的最值问题，利用结论来解决数列不等式问题，难点在于学生没有找到函数与数列的衔接点.

例2 （2017年全国卷Ⅲ理21）已知函数f（x）=x-1-alnx.

（Ⅰ）若f（x）≥0，求a的值；

（Ⅱ）设m为整数，且对n∈N*，恒有，求m的最小值.

解析：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）.

由f′（x）＞0⇒x＞a，f（x）的增区间为（a，+∞），减区间为（0，a），即f（x）min=f（a）=a-1-alna.

又因为f（1）=0，所以当a=1时，f（x）≥0恒成立，故a=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x∈（1，+∞）时，f（x）=x-1-lnx＞0⇒l nx＜x-1，取，则，所以ln，即恒成立.而故m的最小值为3.

点评：本题突破口在于发现f（1）=0得出a的值，难点在于得到结论，由结论找到数列不等式，最后利用数列的放缩法得到定值，需要学生熟悉函数与数列之间的联系.

例3 （2019年湖北黄冈中学高考模拟）已知函数f（x）=｜x-a｜-lnx（a＞0）.

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

解析：（Ⅰ）运用零点法，把函数f（x）的解析式进行分段表示，然后利用导数，判断每段函数的单调性.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a=1，x＞1时，x-1-lnx＞0，则lnx＜x-1，变形得到所以

点评：本题学生难点在第Ⅰ问讨论不清.第Ⅱ问依然是用结论lnx＜x-1变形，还要求学生熟悉数列的基本知识点.

例4 （2019年湖北高考模拟）已知函数f（x）=lnx+

①讨论f（x）的单调性；

②若x1，x2为f（x）的两个极值点，证明：

解析：①讨论略.

②由①知a＜-2且x1+x2=-a，x1x2=1，故，故只需证明令，则t＞1，原不等式等价于lnt＜t-1对t＞1成立，即转化结论成立.

点评：本题主要考查了导数的应用，由导数讨论函数的单调性及最值，利用作差法比较大小及构造函数证明不等式是解题的关键，最终也转化为结论：lnx＜x-1的应用，属于难题.

（Ⅰ）求f（x）的最小值；

解析：（Ⅰ）求导后利用导数求函数的极值即可得到最小值.

点评：本题主要考查了导数的应用，数列不等式的证明，属于难题.在证明不等式时，往往要根据函数的特点，构造新的函数或不等式，利用函数的增减性、极值或者不等式的放缩法，来证明所给不等式，技巧性虽然比较强，但还是结论的应用，需要多加练习总结.

三、规律总结

其实，数学虽然逻辑推理严密、思维抽象及应用广泛，但还是有规律可循，平时解答数学问题时，只要多反思、多总结，一定能找到更好、更实用的结论和方法，回归知识原本，就能更好地解决数学问题，提升数学能力，培养数学核心素养.W