向量外积几何性质在平面几何中的应用

潘继军



向量外积几何性质在平面几何中的应用

潘继军

滇西科技师范学院数学学院, 云南 临沧 677000

一般情况下向量外积是用来研究三维及以上欧氏空间中的相关问题，鲜有用向量外积研究平面几何问题，且大多数是以坐标法的形式来研究。本文以向量外积为桥梁，不用坐标法，而运用向量外积几何性质来研究平面几何中与“距离、面积、三点共线、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、正方形等”有关问题，且运用实例验证了应用向量外积几何性质研究平面几何中的这些问题是一种行之有效的方法。

向量外积; 几何性质; 平面几何

研究平面几何问题可以借助向量的内积来研究,多数情况下向量外积是用来研究三维及以上欧氏空间中的相关问题的,且大多数是以坐标法的形式来研究的,如文献[1-9]都是用向量外积的坐标法来研究三维及以上欧氏空间中的相关问题,本文却是以向量外积为桥梁,不用坐标法,而运用向量外积的几何性质来研究平面几何中与“距离、面积、三点共线、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、正方形等”有关问题.通过本研究发现利用向量外积的几何性质研究平面几何中的这些问题是一种行之有效的方法.

1 向量外积的几何性质

1.1 两个向量外积的定义

图 1

图 2

1.2 点到直线的距离公式

1.3 向量的旋转

图 3

图 4

2 向量外积几何性质在平面几何中的应用举例

2.1 应用向量外积几何性质研究与“等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、正方形”等有关的问题

例1如图5,四边形是任意四边形,分别以、为边向四边形外部作正方形、,再分别以、为边作正方形、.

图 5

求证：四边形是平行四边形.

求证：不论△旋转到什么位置,线段上必然存在点,使△为等腰直角三角形.

所以无论△旋转到什么位置,当点为的中点时,△总为等腰直角三角形.

例3如图7,三角形和三角形都是等边三角形,四边形是平行四边形.

求证：三角形也是等边三角形.

2.2 应用向量外积几何性质研究与“面积、三点共线”有关问题

求证：、分别为、的中点.

2.3 应用向量外积几何性质研究与距离有关的问题

例5 如图9,为等边三角形内任意一点,点到三边、、的距离分别为、、.

求证：++为定值.

所以++=

所以++为定值.

以上说明向量外积是一种有用的数学工具,向量外积作为一种成熟的数学工具重新进入平面几何领域为我们解决平面几何问题提供了新的方法,增加了新的视角,因此,适当地把向量的外积应用于平面几何,向量就成为代数与平面几何之间的一座天然的桥梁,这无疑是对广大师生创新精神的一种培养.

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Application of Geometric Properties of Vector Outer Product in Plane Geometry

PAN Ji-jun

677000,

In general, the vector outer product is used to study the related problems in three-dimensional and above Euclidean space, and most of them are studied in the form of coordinate method. It is rare to study plane geometry with vector outer product. Instead of coordinate method, in this paper, vector outer product is used as a bridge, and the geometric properties of vector outer product are used to study the problems related to "distance, area, three points collinear, equilateral triangle, isosceles triangle, isosceles right triangle, square, etc." in plane geometry. This work proves that it is an effective method to study these problems in plane geometry by using the geometric properties of vector product.

Vector outer product; geometric properties; plane geometry

G633.6

A

1000-2324(2019)01-0138-04

10.3969/j.issn.1000-2324.2019.01.031

2017-10-12

2018-5-12

潘继军(1967-),男,本科,教授,主要从事初等数学研究. E-mail:319318384@qq.com