隐变量分形插值曲线的计盒维数

张明霞，冯志刚

(江苏大学 理学院，江苏镇江212013)

分形插值给出了拟合数据的一种新思想，为很多领域提供了有力的理论依据，例如海岸线、材料断口轮廓、心电图等，而插值的构造方法有很多种，各有千秋。为了提高插值的灵活性，人们将分形插值推广到隐变量分形插值的情形。Barnsley等[1]首先给出了一元隐变量分形插值函数的结构，它的思想就是在R3中构造一组三维压缩变换，将其吸引子投影到R2，其投影就是插值于给定数据集的函数图像，而R3中的这些额外自由度就是所谓的隐变量，这些变量可以用来调节函数的形状和分形维数。之后，隐变量分形插值函数得到广泛研究。文献[2,3]研究了具有常数压缩因子的隐变量分形插值曲面的构造；Kapoor和Prasad[4]讨论了数据集的扰动对隐变量分形插值函数的光滑性以及稳定性的影响；文献[5]提出了一个自由变量是函数，其他自由变量是常数的隐变量分形插值曲面的构造，但没有给出它们的分形性质；杨丽萍[6]探讨了当HVFIF迭代函数系的自由参量和函数项联合扰动时，扰动了的HVFIF与原HVFIF的差，并且得到两者误差估计的上界，其次研究了隐变量分形插值函数的矩量积分、Riemann-Liouville分数阶积分的扰动误差问题，证实了自由参数及函数项的细微扰动对HVFIF 的函数值、矩量积分及 Riemann-Liouville 分数阶积分干扰不明显。分形维数是分形几何中的一个重要研究部分。Mandelbrot[7]用维数度量不规则图形的粗糙度；Ruan等[8]提出一个不同的方法计算连续函数计盒维数；Feng[9]研究了矩形区域上的分形插值曲面，并通过盒维数与δ-变差的关系得到二元分形插值函数盒维数的精确值；冯志刚等[10]根据连续函数δ-变差性质分析了分形插值函数的δ-变差性质，得到了分形插值曲线计盒维数定理新的证明方式；徐惠[11]、王伟[12]根据变差讨论了分形插值函数的维数；文献[13]构造了空间分形插值曲线，进而得到了计算空间分形插值曲线计盒维数的公式；文献[14]对基于循环迭代的分形插值函数的构造方法及其计盒维数进行了研究，给出了其维数定理。由于隐变量分形插值函数构造的复杂性与特殊性，其维数讨论是极少的。

本文在上述文献基础上根据振幅与盒子数的关系，得到了一元隐变量分形插值曲线的维数公式，为隐变量分形插值曲线的维数计算提供了理论基础。

1 隐变量分形插值曲线的结构

考虑一元隐变量分形插值函数。设{(xi,yi)∈I×J1:i=0,1,…,N}是平面R2上一个给定的数据集，其中I=[0,1]，J1是一个闭区间，01为给定的正整数。给定一组实数{zi:i=0,1,…,N}，得到一个广义数据集：

{(xi,yi,zi)∈I×J1×J2:i=0,1,…,N}⊂R2,

J2是包含{zi:i=0,1,…,N}的一个适当的闭区间。

令Ii=[xi-1,xi],|Ii|=xi-xi-1,i=1,2,…,N,D=J1×J2,K=I×D。

定义映射Li:I→Ii,i=1,2,…,N,满足映射：

Li(x)=|Ii|x+xi-1

(1)

令Fi:K→D,i=1,2,…,N，是连续映射且满足：

(2)

pi(x)、qi(x)是两个定义在I上的Lipschitz函数，为了插值的连续性，假设以下端点条件成立：

(3)

由式(2)、(3)可以计算出pi(0)、pi(1)、qi(0)、qi(1)应满足的端点条件。ai、bi、di为自由参量，且满足约束条件|ai|<1、|bi|+|di|<1。

对于任意的(yi,zi),(yj,zj)∈R2，定义R2上的度量：

ρ((yi,zi),(yj,zj))=|yi-yj|+|zi-zj|,0≤i,j≤N,i,j∈Z

故对于任意三个点(x,y,z),(x′,y,z),(x,y′,z′)∈K,存在某正数c使得下式成立：

Wi(x,y,z)=(Li(x),Fi(x,y,z)),i=1,2,…,N

(4)

则{K;Wi(x,y,z):i=1,2,…N}是R3上的IFS，存在R3上的度量使得Wi在此度量下是压缩的，由文献[1]知该迭代函数系有唯一的吸引子G，G是一个连续的向量值分形函数的图像，记此向量值分形函数为V:I→D,满足V(xi)=(yi,zi),i=0,1,…,N,且有下列不动点方程：

V(x)=Fi(Li-1(x),V(Li-1(x))),∀x∈Ii,i=1,2,…,N

(5)

记

V(x)=(f(x),g(x)),x∈I

(6)

则f:I→R为隐变量分形插值函数，记为HVFIF，它的图像是吸引子G在xoy平面上的投影且经过给定的数据集{(xi,yi)∈I×J1∶i=0,1,…,N}。g:I→R是一般的分形插值函数，其图像是吸引子G在xoz平面上的投影且经过{(xi,zi)∈I×J2∶i=0,1,…,N}。

由式(5)、(6)可得：

g(Li-1(x))),x∈Ii

(7)

于是有：

(8)

例1令I=[0,1]，N=3,取数据点：(x0,y0,z0)=(0,0,0)，(x1,y1,z1)=(0.5,1,1)，(x2,y2,z2)=(1,0,0);并取

这里|ai|=|bi|，pi(x)=eix+fi，qi(x)=tix+ri，ei、fi、ti、ri由端点条件(3)计算得到。

迭代图形及投影如图1所示。图中蓝色曲线代表空间曲线，绿色曲线表示其在xoz面的投影，红色表示其在xoy面的投影，即所要研究的隐变量分形插值曲线。

图1 |ai|=|bi|时，迭代9次Fig.1 When|ai|=|bi|，iterations 9 times

例2数据点取值同例1，改变ai和bi，使|ai|≠|bi|，取

其迭代图形及投影如图2所示(线型含义同图1)。

图2 |ai|≠|bi|时，迭代9次Fig.2 When|ai|≠|bi|，iterations 9 times

2 连续函数的计盒维数

设r是[a,b]上的连续函数，Tr={(x,r(x))|x∈[a,b]}是r的图像。

(9)

这里O(f,τl,ε)=sup{f(xi)-f(xj)|xi,xj∈[τl,τl+ε]∩[a,b]}。

(10)

3 隐变量分形插值曲线的计盒维数

下面通过估计隐变量分形插值函数的盒子数得到其维数方程。

引理2f是由式(4)确定的一元隐变量分形插值函数，对于∀0<ε<1/2min{xi-xi-1|i=1,…,N},∀δ>0,∃β1，β2>0使得：

证明：令

为[xi-1,xi]上的ε分割，由于

f(Li(x))=aif(x)+big(x)+pi(x)

(11)

(12)

(13)

那么存在常数β1>0，使

l∈{0,1,…,m}

同理可以推得对于任意δ>0，存在常数β2>0，使

引理得证。

接下来分两种情况讨论：

a) 若|ai|=|bi|，那么|ci|=|ai|。由引理2结论及|ai|=|bi|，存在β1,β2>0使得：

(14)

g是一般的分形插值函数，根据文献[16],存在B1，B2>0使得：

那么，存在较大的θ1，θ2>0，由式(14)有：

定义

(15)

b)若|ai|≠|bi|，由式(14)及|ci|=max{|ai|,|bi|}，可得：

所以

后续证明与a)类似，在此不再重复。所以当|ai|≠|bi|时，dimB(Tf)=s。

定理1说明，由式(4)确定的一元隐变量分形插值函数的维数与自由参量ai、bi的最大值有关。

4 应 用

选取例1中的隐变量分形插值曲线，|ai|=|bi|，|Ii|=0.5,i=1,2，由定理1，可以计算出该分形图形的计盒维数s=log0.5(1/1.1)+1≈1.14。

在例2中，|ai|≠|bi|，根据定理1，可以计算出此时分形图形的计盒维数s=log0.25(1/1.3)+1≈1.38。

5 结 语

本文为了计算隐变量分形插值曲线的计盒维数，首先根据振幅与盒子数的关系，给出了这类隐变量分形插值曲线盒子数的估计范围，接着在定理1中讨论了两种情况，得到了隐变量分形插值曲线的维数公式，说明了这类一元隐变量分形插值函数的维数与自由参量ai、bi的最大值有关。