巧添辅助线求解非线性元件的实际功率

安徽 邵 永

数形结合百般好，相得益彰显神通。

1.引言

物理函数图象是运用数学的“形”载着物理的“质”，是一种形象直观的“语言”，能直观地描述物理过程、形象地表达物理规律、鲜明地表示物理量之间的关系，利用图象解题可使解题过程简化，思路更清晰，比解析法更巧妙、灵活，在有些情况下运用解析法可能无能为力，但是用图象法则会豁然开朗，因此物理函数图象一直是物理学中重要的工具，在中学物理中有着广泛应用，在《考试大纲》中明确要求“能够根据具体问题列出物理量之间的关系式进行推导和求解，并根据结果得出物理结论，必要时能运用几何图形、函数图象进行表达、分析”。由于非线性元件的阻值随外界情况的变化而变化，所以它的实际功率很难用解析式准确确定，因此在非线性元件的I-U图象中添加辅助线，利用图象法进行求解是一种行之有效的方式。

2.通过添加电源的特性曲线求非线性元件的实际功率

2.1 电路中只有一个非线性元件

【例1】(2013年天津卷，改编)要测绘一个标有“3 V 0.6 W”小灯泡的伏安特性曲线，灯泡两端的电压需要由零逐渐增加到3 V，并便于操作。已选用的器材有：

电池组(电动势为4.5 V，内阻约1 Ω)；

电流表(量程为0～250 mA，内阻约5 Ω)；

电压表(量程为0～3 V，内阻约3 kΩ)；

开关一个、导线若干。

①实验中所用的滑动变阻器应选下列中的________(填字母代号)。

A.滑动变阻器(最大阻值20 Ω，额定电流1 A)

B.滑动变阻器(最大阻值1 750 Ω，额定电流0.3 A)

②实验得到小灯泡的伏安特性曲线如图1所示。如果将这个小灯泡接到电动势为1.5 V、内阻为5 Ω的电源两端，如图2所示，则小灯泡消耗的功率是________W。

图1

图2

【解析】①测绘小灯泡的伏安特性曲线，要求能较大范围测量数据，所以控制电路部分应用分压式接法，滑动变阻器应用最大阻值小、额定电流大的A。

②在灯泡的I-U图上作出电源的特性曲线，交点即为这个电源给这个灯泡供电时的电流和电压，如图3所示，此时P灯=IU=0.1×1 W=0.1 W。

图3

2.2 电路中有两个相同的非线性元件串联

如果把与例1中相同的两个灯泡串联后直接接在例1中的电源上，每个灯泡的实际功率会是多大呢？

我们可以设每个灯泡两端电压为U，通过的电流为I，那么电源两端电压为2U，通过的电流为I，由闭合电路欧姆定律得2U=E-Ir。在灯泡的I-U图上作出此图象，交点即为这个电源给这两个灯泡供电时每个灯泡实际获得的电流和电压，如图4所示，此时P灯=IU=0.065×0.6 W=0.039 W。

图4

2.3 电路中有两个相同的非线性元件并联

如果把与例1中相同的两个灯泡并联后直接接在例1中的电源上，每个灯泡的实际功率会是多大呢？

我们可以设每个灯泡两端电压为U，通过的电流为I，那么电源两端电压为U，通过的电流为2I，由闭合电路欧姆定律得U=E-2Ir。在灯泡的I-U图上作出此图象，交点即为这个电源给这两个灯泡供电时每个灯泡实际获得的电流和电压，如图5所示，此时P灯=IU=0.078×0.72 W=0.056 W。

图5

2.4 电路中有定值电阻和非线性元件混联

如图6所示，定值电阻R1=1 Ω，R2=1 Ω，小灯泡的实际功率又会是多大呢？

图6

图7

3.通过拟合不同非线性元件总的伏安特性曲线、结合电源的伏安特性曲线求实际功率

3.1 两个不同的非线性元件并联

【例2】如图8所示，两个电阻1和2，它们的电流随所加电压的变化而改变，它们的伏安特性即电压和电流不成正比关系(这种电阻称为非线性电阻)，现先将这两个电阻并联，然后接在电动势E=9.0 V、内电阻r0=2.0 Ω的电源上。试利用题给的数据和图线在题图中用作图法读得所需的数据，进而分别求出电阻1和电阻2上消耗的功率P1和P2。要求：

①在题图上画出所作的图线。(只按所画图线评分，不要求写出画图的步骤及理由)

②从图上读出所需物理量的数据(取两位有效数字)，分别是：___________。

③求出电阻R1消耗的功率P1=________，电阻R2消耗的功率P2=________。

图8

【解析】由于并联电路两端电压相等，所以由图读出相同电压时两电阻的电流，然后求和，根据电压和总电流重新描点，用平滑曲线拟合，作电源的特性曲线，交点电压即为并联电压，交点电流即为两电阻的总电流，根据图象就可以知道此时各自的电流。

①如图9所示。

图9

②并联电阻两端的电压U0=2.3 V，通过电阻1的电流I1=1.2 A，通过电阻2的电流I2=2.2 A。

③2.8 W，5.1 W。

3.2 两个不同的非线性元件串联

如果两电阻串联接入电路呢？

【解析】由于串联电路通过的电流相等，所以由图读出相同电流下两电阻的电压，然后求和，根据电流和总电压重新描点，用平滑曲线拟合，作电源的特性曲线，交点电流即为串联电流，交点电压即为两电阻的总电压，根据图象就可以知道此时各自的电压。

①如图10所示。

图10

②通过串联电阻的电流I0=1.6 A，电阻1的电压U1=4.3 V，电阻2的电压U2=1.3 V。

③6.9 W，2.1 W。

4.通过电源的特性曲线、拟合功率—电流图象分析最大功率问题

4.1 非线性元件消耗的最大功率问题

【例3】(2017年全国卷Ⅰ)某同学研究小灯泡的伏安特性，所使用的器材有：小灯泡L(额定电压3.8 V，额定电流0.32 A)；电压表V(量程3 V，内阻3 kΩ)；电流表A(量程0.5 A，内阻0.5 Ω)；固定电阻R0(阻值1 000 Ω)；滑动变阻器R(阻值0～9.0 Ω)；电源E(电动势5 V，内阻不计)；开关S；导线若干。

(a)

(b)

①实验测得该小灯泡伏安特性曲线如图(a)所示。由实验曲线可知，随着电流的增加小灯泡的电阻________(填“增大”“不变”或“减小”)，灯丝的电阻率________(填“增大”“不变”或“减小”)。

②用另一电源E0(电动势4 V，内阻1.00 Ω)和题给器材连接成图(b)所示的电路，调节滑动变阻器R的阻值，可以改变小灯泡的实际功率。闭合开关S，在R的变化范围内，小灯泡的最小功率为________W，最大功率为________W。(结果均保留两位小数)[(1)略]

【解析】①由图象可知切线的斜率在减小，故灯泡的电阻随电流的增大而增大，再由电阻定律知电阻率增大。

②设小灯泡两端电压为U，通过的电流为I，那么电源两端电压为U+IR，由闭合电路欧姆定律得U+IR=E-Ir，整理得U=E-I(R+r)，可见随着R的变化，图象与横轴交点不变，斜率的绝对值在0.1～1范围内变化，作出两条临界的图象，交点反映小灯泡实际工作的电压、电流，由图得实际功率在0.39～1.17 W范围内变化，所以小灯泡的最小功率为0.39 W，最大功率为1.17 W。

4.2 滑动变阻器上消耗的最大功率问题

由于高考题中短路电流太大不方便画图，所以暂且以电动势为4 V，内阻为10 Ω进行分析。

如图12所示，在图(a)的坐标中作出电源的特性曲线，则相同电流时两横坐标数值之差就是滑动变阻器两端电压，根据电压与电流的乘积可以计算出滑动变阻器上消耗的功率。在同一坐标纸中以横轴为滑动变阻器上消耗的功率，纵轴仍是电流，采用描点、连线的方式拟合出其功率随电流变化而变化的图形。由图可得其最大功率约为0.29 W。

图12

图13