对一道高考题的推广探究*

江西省萍乡中学(337000) 黄贤锋 何义明

一、问题的提出

引例1(2009年全国II卷理科第16题)已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条互相垂直的弦,垂足为则四边形ABCD面积的最大值为____.

引例2 (2018年武汉二调理科第15题)过圆Γ:x2+y2=4外一点P(2,1)作两条相互垂直的直线AB和CD分别交圆Γ于A,B和C,D点,则四边形ABCD面积的最大值为____.

文[1]探究了问题1的一般化情形,即：过圆内任意一点作两条夹角为的弦AC,BD,求四边形ABCD面积的最值.

可以发现,问题2是问题1在圆外的发展.受文[1]的启发,本文对问题2进行一般化探究.

问题如图1,已知⊙O的半径为r,过⊙O外一点P(以下记OP=p)作两夹角为θ(θ∈(0,π))的割线PAB,PCD分别交⊙O于A,B和C,D点,其中PB＞PA,PD＞PC.

图1

探究一对于定角θ(θ∈(0,π)),要作出满足题意的割线,探究p的范围;

探究二对于定值p(p＞r),过点P任意作两条割线,探究两割线夹角的范围;

探究三对于定值p(p＞r)、θ,探究四边形ABCD面积S的范围.

二、主要结论

如图2,考虑两割线的极限位置,过点P作两条夹角为θ的切线,则因此对于探究一,探究二,易得下面结论：

图2

结论1 已知⊙O的半径为r,对于定角θ(θ∈(0,π)),过⊙O外满足的一点P可作两夹角为θ的割线PAB,PCD.

结论2已知⊙O的半径为r,对于定值p(p＞r),过⊙O外一点P作两割线PAB,PCD的夹角θ∈(0,2θ0),其中θ0为满足sinθ0=r/p的锐角.

为了便于解决探究三,我们作如下约定：

设PAB总在PCD的左侧,记PAB与PO的夹角为α,即∠OPB=α.设θ0为满足sinθ0=r/p的锐角,由对称性可知,只需研究时S的取值范围.对有唯一确定的PB值,记为f(α);有唯一确定的PB·PD值,记为g(α);有唯一确定的S值,记为S(α).

图3

如图3,过O作OT⊥PB于T,则PT=pcosα,OT=psinα,故因此,当PAB与PCD位于PO的同侧(含其中一条与PO重合的情形)时,g(α)=f(α)f(α-θ);当PAB与PCD位于PO的异侧(含其中一条与PO重合的情形)时,g(α)=f(α)f(θ-α).由圆幂定理可知PA·PB=PC·PD=p2-r2,故则

下面,给出探究三的主要结论：

结论3 已知⊙O的半径为r,对于定值p(p＞r),过⊙O外一点P作两割线PAB,PCD的夹角θ∈(0,2θ0),其中θ0为满足sinθ0=r/p的锐角.四边形ABCD面积S(α)在上单调递减,则即当PAB与PCD关于PO对称时,S(α)有最大值S(α)无最小值.

三、结论3的证明

(一)两个引理

为了证明结论3,我们先证明两个引理.

引理1 函数在单调递减.

证明

引理1得证.

引理2 对∀θ∈(0,2θ0),函数g(α)在单调递减.

证明(1)当θ0≤θ＜2θ0时,PAB与PCD必位于PO的异侧,则g(α)=f(α)f(θ-α),

(2)当0＜θ≤θ0时,分两段证明：

(II)当α∈[θ,θ0)时,PAB与PCD必位于PO的同侧,则g(α)=f(α)f(α-θ),对∀α1,α2∈[θ,θ0),且满足α1＜α2,由引理1可知f(α1)＞f(α2),f(α1-θ)＞f(α2-θ),则g(α1)=f(α1)f(α1-θ)＞f(α2)f(α2-θ)=g(α2),因此g(α)在上单调递减.结合(I)(II)可知对∀θ∈[0,θ0),g(α)在上单调递减.

综合(1)(2),引理2得证.

(二)结论3的证明

证明因为函数为增函数,由引理2可知对∀θ∈(0,2θ0),函数g(α)在单调递减.由复合函数的单调性可知,S(α)在上单调递减,结论3得证.

结论3能不能继续推广到椭圆,双曲线,抛物线中去?这个问题本人暂时无法解决,有兴趣的读者可以一试.