一道直线参数方程模考题引发的思考与探索

新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第八中学(830002) 李昌成 董 卓 车燕昭

研究背景选修4-4《极坐标与参数方程》的内容,在全国数学高考卷中,目前均安排在第22题进行考查.有的题目倾向于极坐标的考查,有的题目倾向于参数方程的考查,二者交替出现.前几年地方卷以小题方式考查,全国卷均以10分分值的大题进行考查.

2018年1月底,乌鲁木齐市高三一模如期举行.第22题考查的是直线参数方程方面的问题,题目本身平易近人,不偏不倚,甚至连数字都是设置好的,可以说是一道好题,一道该得分的题.在考前,笔者还专门就这部内容做了简要复习,强调了几个风险点,由于时间关系,未安排例题.笔者本以为学生都做得很顺手,但统计结果大失所望.两个班97人仅一人得满分(我校一本率90%以上),1%的满分率,太值得反思了.

一、再现学生模考错误

题目(2019年乌鲁木齐市一模数学卷第22题)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以O为极点,x轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=2acosθ(a＞0).

(I)求圆C的直角坐标方程;

(II)若直线l与圆C交于A,B两点,点且|PA|+|PB|=求a的值.

第一问学生几乎都能得出正确答案：(x-a)2+y2=a2,第二问侧重于考查直线标准式参数方程的t的几何意义,由于学生这方面的知识掌握不到位,答案五花八门,错误百出!下面摘录四种错误解法.

错解1(II)将代入(x-a)2+y2=a2得由韦达定理得而|PA|+|PB|=t1+t2,所以解得

这种解法看起来没什么问题,但就是错的!因为只有直线标准式参数方程中的才有这样的几何意义.本题已知的直线参数方程是非标准式的,这样做一定错误,典型的知其然不知其所以然.这种解法却是学生的主流解法,统计显示这种解法占78.3%.

错解2(II)将直线中的参数t消去得再代入(x-a)2+y2=a2得设A(x1,y1),B(x2,y2),则…(无法继续解答).

这种解法把希望寄托在直角坐标方程上,殊不知PA,PB不是圆的弦,这样做理论上就不合适,统计显示这种解法占11.3%.

错解3(II)将直线中的参数t消去得y=设直线的倾斜角为α,那么进而于是直线l的标准式参数方程为(t′为参数)…

这种解法中t′的系数张冠李戴,已经出现错误,后续运算劳而无功!这是离正确答案最近的解法,但只占5.1%.

错解4(II)由于直线l的参数方程为所以直线过定点设直线的倾斜角为α,于是直线l的标准式参数方程为(t′为参数)…

这种解法中误将cosα,sinα当变量,晕头转向,无法继续解答!

二、错误原因分析

(一)对课程标准、教材、考试大纲认识不到位

图1

对于参数方程,近几年考试大纲及说明没有变化,主要就三点：(1)了解参数方程,了解参数的意义;(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程;(3)举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便,感受参数方程的优越性.那么对于直线参数方程而言,我们务必注意“选择适当的参数”.如图1,教科书介绍的直线参数方程仅是过定点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线的标准式参数方程(t为参数).t具有如下的几何意义：即直线上的动点M到定点M0的距离等于参数t的绝对值.t＞0,则的方向向上;t＜0,则的方向向下;t=0,则点M与点M0重合.直线上任意两点间的距离为|t1-t2|.

课程标准还指出：参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程,是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式.某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便.学习参数方程有助于学生进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变.这一点在直线标准式参数方程上体现得尤为突出.

(二)师生教学投入不够,知识不成体系

部分老师认为这个题就是送分的,新课草草讲完,几乎不复习,快速进入一轮复习.对于学生的学习状况停留在答案正确就行的层面,默许学生用直角坐标方程应对一切,没有挖掘这块内容的内涵,知识没有构成体系.而学生或许只会几个转化公式,只能将极坐标与参数方程问题归结于直角坐标方程来解答.对于前几年的一部分题目尚可,近年的一部分高考题目转化成直角坐标方程后,由于掩盖了几何意义,使得运算繁杂,甚至无法完成.这是有隐患的,笔者近十年一直在带高三毕业班,感受十分明显,考查几何意义的题型学生难以应答.

(三)依赖心理导致解题方法陈旧死板

考试结束后,我和学生进行了深入地探讨,究竟是什么原因导致结果如此惨烈?学生一致反映,由于对直线和圆锥曲线已经比较熟悉,所以解题中对此有严重依赖,不情愿去接受“新”知识,“新”方法,导致学习不主动,功夫不到家,该掌握的重要技能并未掌握,尤其是直线参数方程中的t的几何意义,更谈不上灵活应用,对于一些试题陷阱就熟视无睹了.本题就不宜用直角坐标方程解答第二问,在一知半解的情况下,明知答案很怪异也束手无策.

三、利用直线标准式参数方程解答更方便的几类问题

类型1 借助动点与定点的三种位置关系导致参数t的符号变化,准确表示距离

例12019年乌鲁木齐市一模数学卷第22题,题目见前文.

解(I)略解：

例2 (2015年湖南卷理科第16题)已知直线l：(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.

(I)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;

(II)设点M的直角坐标为直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.

解(I)曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ,所以

将ρ2=x2+y2,ρcosθ=x代入 ①得C的直角坐标方程为

例3(2018年乌鲁木齐市第八中学高三模考数学理科卷第22题)曲线C的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsinθ-ρcosθ-1=0.

(I)将曲线C的参数方程化为直角坐标方程;

(II)设点P的直角坐标为(0,1),直线l与曲线C的交点为A,B,求|PA|·|PB|的值.

解(I)曲线C的参数方程为所以C的参数方程化为直角坐标方程为

(II)直线l的极坐标方程为ρsinθ-ρcosθ-1=0.所以l的直角坐标方程为y=x+1,因此l的倾斜角为45°,于是l的标准式参数方程为(t为参数).将其代入 ①得设这个方程的两个实数根分别为t1,t2,则易知定点P在点A,B之间,所以

评注以上三个例题展示了动点与定点三种位置关系下,参数t的符号选择,这非常重要,显示了直线标准式参数方程的独到功能,便捷之处.

类型2 利用参数t的几何意义求弦长

例4(2016年高考全国卷II理科第23题)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.

(I)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;

(II)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,求l的斜率.

解(I)整理圆C的方程(x+6)2+y2=25得

将ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ代入 ①得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0.

类型3 利用倾斜角α求轨迹

例5 (2010年高考全国课标卷理科第23题)已知直线(t为参数).圆(θ为参数).

(II)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,P为OA的中点,当α变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.

解(I)当时,直线C1的普通方程为y=曲线C2的普通方程为x2+y2=1.联立方程组解得C1与C2的交点为(1,0),

(II)直线C1的普通方程为sinαx-cosαy-sinα=0,直线OA的普通方程为cosαx+sinαy=0.于是交点A的坐标为(sin2α,-cosαsinα),故当α变化时,P点轨迹的参数方程为：(α为参数),普通方程为所以P点轨迹是圆心为半径为的圆.

类型4 利用参数t的几何意义求轨迹

例6 (2018年高考全国卷III理科第22题)在直角坐标系xOy中,圆O的参数方程为(θ为参数),过点且倾斜角为α的直线l与圆O交于A,B两点.

(I)求α的取值范围;

有。很多次，她从屋外进来，站在我的身后，双手蒙住我的眼睛。我转过脸去，拉下她的手，看见她脸上有顽皮笑容。她问我，琴药，你害怕吗。我回答她，是，我很害怕。直到我变老，死去，都将如此。

(II)求AB中点P的轨迹的参数方程.

解(I)圆O的直角坐标方程为x2+y2=1.当时,l与圆O交于两点.当时,记tanα=k,则l的方程为l与圆O交于两点当且仅当解得k＜-1或k＞1,即综上,α的取值范围是

(II)l的参数方程为

将 ①代入x2+y2=1得设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则且又点P的坐标(x,y)满足所以点P的轨迹的参数方程是

类型5 利用参数t构造函数

例7 (2015年高考陕西卷理科第23题)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为

(I)写出圆C直角坐标方程;

(II)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.

解(I)由得将ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入得所以圆C直角坐标方程为

类型6转换定点,应用t的几何意义

例8 (原创题)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,圆C的极坐标方程为ρ=3.

(I)写出圆C的标准方程;

解(I)对ρ=3平方得ρ2=x2+y2=9,所以圆C的标准方程为x2+y2=9.

(II)将直线l的参数方程中的t消去得l的普通方程当x=0时,因此直线l的参数方程也可以表示为(t为参数),将其代x2+y2=9入得设这个方程的两个实数根分别为t1,t2,则所以

类型7 利用参数t简化目标函数

例9 (2005年高考全国卷II理科第21题)P、Q、M、N四点都在椭圆上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知与共线,与共线,且求四边形PMQN的面积的最大值和最小值.

解由已知得F(0,1),则直线PQ的标准式参数方程为(t为参数),将其代入得(1+cos2θ)t2+2sinθt-1=0,设这个方程的两个实数根分别为t1,t2,则于是同理,所以当时,当θ=0时,Smax=2.

点评此法避开了由直线斜率存在与不存在而引发的讨论.S与θ的函数关系简单明了,思路连贯,解答所用知识都是最常见、最重要,学生易于掌握的内容.最重要的是最值容易求得.此法有效避开了传统解法的繁杂运算,再次显示标准式直线参数方程的强大功能!

四、分类提升训练

1.已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=1.

(I)求曲线C的直角坐标方程;

(II)求直线l被曲线C截得的弦长.

参考答案：(I)x2-y2=1;(II)

2.已知曲线C的极坐标方程为ρ-4cosθ+3ρsin2θ=0,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l过点M(1,0),倾斜角为

(I)求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程;

(II)若曲线C经过伸缩变换后得到曲线C′,且直线l与曲线C′交于A,B两点,求|MA|+|MB|.

参考答案：(I)(x-2)2+4y2=4,为参数);

3.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知曲线C1的参数方程为(α为参数,0≤α＜π),曲线C2的极坐标方程为ρ=-2sinα.

(I)求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程;

(II)若P是C1上任意一点,过点P的直线l与C2交于M,N两点,求|PM|·|PN|的取值范围.

参考答案：(I)ρ=1(0≤θ≤π),x2+(y+1)2=1;(II)[1,3].

4.在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为：(θ为参数).

(I) 以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线C的极坐标方程;

(II)直线l的参数方程为：(其中t为参数),直线l与曲线C交于A,B两点,且求直线l的斜率.

5.在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为(φ为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为

(I)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;

(II)在曲线C上是否存在一点P,使点P到直线l的距离最小?若存在,求出距离的最小值;若不存在,请说明理由.

参考答案：(I)(x-1)2+(y-1)2=2,x-y-4=0;

五、展望2019年高考

这些年全国卷都比较平稳,没有太大的波动,本题应该是多数学生的得分点,从思想上一定要有必胜的信心.最值问题、函数问题、轨迹问题、长度问题、面积问题、存在性问题依然可以重现,直线参数方程中t的几何意义的灵活应用一定是热点.在全国大部分省市都使用全国卷的前提下,知识的深度、广度可能会增加,教学时可以对知识进行深层次挖掘.选做题依赖于转化为解析几何作答的时代可能不复存在.