数学游戏玩出智慧

陈宪 谢娜

“夺王游戏”是根据人教版数学教材四年级下册数学广角的思考题改编而来，旨在通过游戏，学生探究并发现夺王游戏的获胜策略，会运用获胜策略进行游戏活动和游戏设计；渗透倒推法，感受倒推法在游戏中的价值；培养学生的直觉思维、推理能力及创造力。

教学过程

一、激趣导入，介绍游戏

1.谈话导入，说明规则

师：同学们，老师今天给大家带来了一个有趣的游戏———夺王游戏，大家敢挑战吗？我们先来认识一下夺王工具（出示图1），请仔细观察，你有什么发现？

生：我看到一共有11颗棋子。最后一颗棋子的颜色不一样，我猜它就是“王”。

师：大家同意吗？（生：同意）真厉害。来看游戏规则（课件出示：11颗棋子排成一行，两人从第1颗棋子依次开始拿，每人每次最多拿2颗，但不能不拿，谁先拿到最后一颗棋子———“王”，谁就获胜）。谁看明白了？

生：从第1颗棋子依次开始拿，两人轮流拿棋子。每人每次最多拿2颗，最少拿1颗。谁先拿到第11颗，谁就获胜。

师：描述得很准确。既然读懂了游戏规则，那我们开始玩游戏吧。

【评析】学生通过观察学具理解游戏规则。教师引导学生理解“最少拿1颗，最多拿2颗”，为游戏做好准备。

二、游戏探究，发现策略

1“.夺11”游戏，发现策略

课件出示：两人进行三局游戏，采用三局两胜制，和同桌交流你的发现。

学生开始游戏。教师巡视，游戏时间3分钟。教师请获胜的同学分享经验。

生1：我每次都赢了，我觉得只要先拿就能获胜。

生2：我不同意，有一局我后拿，也获胜了。

生3：我拿双数颗，我就赢了。

生4：只要能拿到倒数第3颗就赢了。

生5：单数颗就要先拿，双数颗就要后拿。

师：你们很善于观察与思考。谁有信心，能打败老师？

生6上台挑战，双方约定老师每次所取的棋子画√标记，生6每次所取的棋子画圆圈标记。游戏开始，老师取第1、2颗，生6取第3颗。老师取第4、5颗，生6取第6、7颗。老师取第8颗后，讲台下一片哗然，学生直呼“胜负已定，老师赢了”。

生7：如果生6取1颗，老师你就取2颗；如果他取2颗，你就取1颗。老师总能拿到最后一颗。

生8：是的。对方取1颗，你就取2颗；对方取2颗，你就取1颗。也就是两人每轮拿的棋子数之和得是3。这样的话，无论如何，你总能拿到第11颗。

师：好一个无论如何！同学们，看来夺王游戏的关键是要拿到哪颗棋子？（生：第8颗）那现在的问题变成怎样才能拿到第8颗棋子。请同学们两两对决，找到“夺8”的必胜策略。

生9：我发现拿到第5颗，就一定能拿到第8颗。因为对方拿第6颗，我就拿第7、8颗；對方拿第6、7颗，我就拿第8颗。简单地说，就是两人每轮拿的颗数之和是3。

师：好样的！现在问题变成怎样能抢到第5颗棋子。大家动手试试吧！

生10：按照刚才的方法，那就是必须拿到第2颗。

师：是这样的吗？怎样拿到第2颗呢？

生11：必须先拿掉前面2颗，先下手为强。

师：真了不起，这种情况下，咱们要先下手为强。现在我将这些关键的棋子标记出来，11、8、5、2。刚才你们的发现，能用一个算式表示吗？

生12：11÷3=3……2，除以3表示3颗为一组，也就是在每一轮中，对方拿1颗，我就拿2颗；对方拿2颗，我就拿1颗。商3表示3轮。

师：这与什么相关？

生13：与“最多拿2颗，最少拿1颗”有关，也就是游戏规则。

师：看来除数和游戏规则存在关联。还有要补充的吗？

生14：余数2就是我们最开始要拿的棋子数，它决定了要先拿。

师：同学们，刚才我们从结论出发，步步倒推，直到找到开始着手的办法，这个方法叫做“倒推”。（板书，如图2）看来玩数学游戏不简单，我们要善于观察。如果和你的同桌再玩一次夺王游戏，你有必胜的策略吗？

生15：一定要先抢2，再3颗为一组，我和对手每轮所拿棋子的总数保证是3就可以了。

师：刚才我们通过探究，发现了夺得11的关键是拿到第2、5、8颗棋子，而且只要掌握好这个规律，先拿必定获胜。

【评析】将“夺11”的游戏分解成“夺8”“夺5”“夺2”，学生充分理解了3颗为一组的必胜策略，也让倒推法深入人心。学生在这个过程中对夺王游戏的模型特点有了一定的理解，这是夺王游戏解决策略向一般化推进的关键环节。

2.“夺10”游戏，巩固策略

师：如果我拿掉1颗棋子，棋子总数变成10颗，同样的游戏规则（课件出示：10颗棋子，两人从第1颗开始拿，每人每次最少拿1颗，最多拿2颗，谁先拿到最后一颗，谁就获胜），又存在什么样的规律呢？请同桌两人过过招。（学生开始游戏）你们找到必胜的方法了吗？

生16：要先拿1颗，然后再拿第4、7颗就能赢。

生17：可以用算式10÷3=3……1表示。余数1表示先拿1颗。接下来对方拿1颗，我就拿2颗；对方拿2颗，我就拿1颗。保证每轮所拿棋子的总数为3就能获胜。

师：我们根据算式中的余数找到了必胜的策略。是不是所有的情况都要先拿才能赢呢？

学生的回答不一。

【评析】学生在游戏中加深对夺王游戏必胜策略的理解，体会不同情况下该如何确定游戏策略，也为夺王游戏必胜策略的归纳奠定了基础。

3.“夺9”游戏，突破变式

师：如果棋子总数变成9颗，同样的规则（课件出示：9颗棋子，两人从第1颗开始拿，每人每次最少拿1颗，最多拿2颗，谁先拿到最后一颗，谁就获胜），必胜策略又是怎样的呢？

生18：9÷3=3，没有余数，我们要抢第3、6、9颗棋子。而“抢3”就要让对方先拿棋，对方拿1颗，我就拿2颗；对方拿2颗，我就拿1颗。

师：接下来怎么保证能拿到第6、9颗棋子？

生19：每一轮拿到的棋子数是3的倍数，就可以获胜。

师：是这样的吗？请两个同学上台对决，验证我们得出的必胜策略吧。（生生游戏）同学们，你们的必胜策略奏效了吗？（生：奏效）现在我们观察这三个算式，有什么相同和不同之处？

11÷3=3……2

10÷3=3……1

9÷3=3

生（齐）：都是除以3。

师：为什么都要除以3？

生20：游戏规则里不是说“最少拿1颗，最多拿2颗”嘛，那每一轮两个人总共就可以拿3颗棋子了。

师：这个3原来是由游戏规则确定的，如果游戏规则改为“最少拿2颗，最多拿3颗”，那除数还会是3吗？

生（齐）：那肯定就是5了！

师：怎么又变成5了？

生20：2+3不就等于5嘛！

师：如果游戏规则变成“最少拿3颗，最多拿5颗”呢？

生（齐）：那除数就是3+5=8。

师：是的，除以几与游戏规则有关。那商又是什么意思呢？

生（齐）：商就是指两人拿棋子的轮数。

师：我懂了。那三个算式有什么不同呢？

生（齐）：有的有余数，有的没有余数。

师：根据算式找策略时，要注意什么？

生21：余数决定了是先拿还是后拿。余数为1或2时，就要先拿棋。没有余数时，就要后拿棋，才能获胜。（板书：先取、后取）

师：没想到游戏背后藏着这样的规律呀。把掌声送给自己。（学生鼓掌）

生22：其實我们万一不能决定自己是先拿还是后拿也没有关系。比如，我们想“抢2”，就让对手先拿，让他拿1颗，我拿1颗不就可以了吗？这样也能拿到第2颗。

师：你是个会学习的孩子，在对方不知道规律的情况下，我们还是有机会反败为胜的。

【评析】学生深入思考“夺9”游戏后，脱离实物，实现了从具体的游戏操作到抽象的数学思维的过渡，领悟到反败为胜的绝招。

三、拓展延伸，运用策略

师：通过刚才的探究，我们找到了夺王游戏的必胜策略。那老师改变游戏规则，你们还可以找到必胜策略吗？（出示游戏规则：12颗棋子排成一行，两人从第1颗棋子开始拿，每人每次最多拿3颗，不能不拿，谁先抢到第12颗棋子，谁就获胜）请大家看看，规则和之前有什么不同？

生23：每人每次拿棋子的颗数变化了，这次是最多拿3颗，最少拿1颗。

师：你还有必胜的方法吗？和你的同桌说说。

生24：我觉得应该要用12÷4=3。

师：为什么除以4，而不是除以3了？

生24：因为拿棋子的规则发生了变化。

师：说得对。在短短的几十分钟里，我们的游戏几次升级，通过探究，我们找到了游戏的必胜策略。现在你能说说夺王游戏的输赢和什么有关吗？

生25：跟拿棋子的先后顺序有关。

生26：跟游戏规则有关。

师：说得真好。那玩到现在，你有什么体会？

生：……

【评析】学生在变式中进一步巩固夺王游戏的模型特点，体会倒推法的价值，学数学、玩数学的无穷兴趣也在不知不觉中被激发。

四、全课小结

师：同学们课后也可以设计类似的游戏和好朋友或家人玩一玩，说不定你也会有所发现。下课！

（作者单位：湘潭市岳塘区火炬学校）