由三角形“斜着放”引起的思考

方小春

摘 要：学生在认知过程中产生的偏差与失误，往往伴随着教学的始终。教学时，该如何应对学生的认知错误呢？笔者从教学实践出发，以学生画高引发出现的各种错误为例，反思课堂教学，多角度分析出错原因，多角度提出解决策略，并探索出合理有效的教学方法，帮助学生合理解决作高的困惑，从而提高课堂教学效益。

关键词：数学思考;有效教学;高效课堂

一、缘起——“斜着放”引发的问题

一位教师在揭示了“高”的定义并加以演示作“高”方法后，出示一道习题（如下图）。把三角形“斜着放”后，虽然大部分学生能基本完成，但学生出错情况很严重，正确率不到40%。为什么学生对“作高”感到如此困难？让笔者陷入深深地思考之中……

二、调查——“多维度”调查成因

三角形画“高”，历来被教师公认为难点。笔者走进课堂，深入学生，多角度展开调查研究，发现三角形画“高”仍存在问题，其典型错误如下几种类型（见下表）：

第一类：“高”没有从顶点出发（见表③ ⑧）

第二类：“高”与底不对应（见表① ⑥ ⑩）

第三类：“高”与底假垂直（见表② ⑦ ⑨）

第四类：不会找直角边上的“高”（见表④ ⑤）

学生已经学习了画垂线和平行四边形的“高”等知识。但为什么学生在画三角形的“高”会出现这么多的错误呢？究其原因，主要是以下几方面造成的：

1.源于感知不准确——不理解什么是三角形的“高”。

学生学习了平行四边形的“高”，有一定的经验基础，部分学生认为三角形“高”与平行四边形“高”的含义相同，画“高”的方法也相同。其实两者是有明显区别的：平行四边形的“高”是平行线之间的距离，而三角形的“高”是顶点到对边的距离。教学中，教师没有让学生充分感知，点破其中的区别，学生便会出现此类错误。

2.源于理解不到位——三角形的高与底边不对应。

画“高”时，不明确三角形中底与“高”的相互对应关系。生活中接触的“高”，一般是以水平边为底，而三角形“斜着放”时，所对应的高不是跟水平边垂直，这与生活经验产生了强烈的认知冲突，学生难以理解三角形的“高”与底的对应关系。

3.源于操作不正确——三角尺不知怎么摆。

学生在画高时，由于三角尺摆放不够规范，到位。三角形畫“高”时需要做到“双重合”，即“边边重合”、“点边重合”。观察学生的画“高”过程，起初确实能做到“边边重合”，但三角板移动至“点边重合”时，便会操作不到位而出错。

4.源于练习不到点——不知道怎么办。

学生学了画三角形的“高”后，教师通常会设置大量练习，以求熟能生巧。但这种机械的重复训练，当学生面对“斜着放”的三角形，还是会茫然不知所措。

三、解决——“多角度”有效解决

其实，画三角形的“高”并不简单！我们必须根据学生的认知规律及已有经验，找准新知的突破口，让学生在知识的形成过程中完善并重组自己的认知结构，形成能力。

1.引导学生感悟“高”。

数学来源于生活而又高于生活。初始对高的理解是生活中房子的“高”，旗杆的“高”，大山的“高”等，学生对于“高”的理解往往定格在“竖着”的，认为三角形的高也是与水平面的垂直距离。

首先，帮助学生理清“顶点”和“对边”等概念，让学生分别指出三角形的顶点与对边，突出对应关系，帮助学生形成直观感知。其次，感悟“高”的本质，可引导学生画一条表示“顶点A到它的对边BC之间距离的线段”，在操作中初步感知“高”。为了打破学生的思维定势，教师可以设置旋转的三角形，以强化对三角形高的本质特征的理解。（如下图）

2.启发学生明确“高”。

画“高”，其核心是“高”与“底”互相垂直，直角三角形和钝角三角形的高具有一定的难度，把三角形从一般到特殊巧妙转化，让学生经历数学知识之间的变化与联系，进一步明确三角形的“高”。（如下图）

其目的是为了让学生明白三角形的形状发生了变化，高度也发生了变化，但是高的实质不变，是顶点到对边的垂直线段。同时，在一个三角形中应有三组不同的“底”和“高”这一知识点成功渗透。教师不能急于求成，要循序渐进，不断积累“高”的表象，并根据头脑中所反映的“高”来指引操作，促进知识的建构。

3.引导学生建构“高”。

如何才能把“高”这一抽象的概念变得简单而深刻呢？首先，回归知识原点，画已知直线的垂线，进行对比。（如下图）

其实，学生在画三角形“高”时，会受到其它顶点和边的干扰，导致判断失真，应让学生进一步明确“底”所对应的“顶点”，然后引导学生正确画“高”。给孩子们总结画高的方法：一合（三角板直角边和底边重合）;二移（沿着底边移动三角板，找到顶点）;三画（沿着三角板的另一条直角边画出高）;四标（在直线上标出直角符号），这样，学生就能画出准确的“高”。

4.激励学生完善“高”。

学生画三角形的“高”应深入到对三角形“高”的意义的理解上。教学时，要把握好知识的“生长点”与“延伸点”，注重知识之间的联系与对比。学生学了画锐角三角形的“高”后会思维定势，即认为“高”都在三角形内部。因此，教师要帮助学生理清三种图形高的联系与区别（如下图），引导学生感受数学的整体性，从而完善对“高”知识的建构。

综上所述，唯有将问题聚焦于学生理解知识的核心部位，清晰梳理、深度反思，帮助学生打开心结，突破作高困难，提升他们思维的灵活性，让我们的课堂变得丰富、厚实，这样才能实现真正意义上的课堂高效。

参考文献：

[1]全日制义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2011年修订版.

[2]孔企平.小学儿童如何学数学[M].华东师范大学出版社，2010年版.

[3]蒋建青，杨建坤.寻找根源，顺错思错[J].小学数学教育，2017.1.