加权距离下模糊数的区间逼近

毛青松

(集美大学教师教育学院，福建 厦门 361021)

0 引言

模糊数被广泛用于表达和处理不确定性信息[1-3]。在实际应用中，往往对执行速度的要求较高，因而人们提出了很多方法用简明、易于计算的模糊数去替代原模糊数，这就是模糊数的逼近问题。近年来，模糊数逼近已成为一个非常重要的热点问题，人们讨论了模糊数的区间逼近[4]、条件加权L-R逼近[5]、光滑逼近[6-7]等问题。

模糊数上存在多种距离，其中L2型的距离被广泛使用。L2型的距离包括L2距离和加权L2距离，L2距离是加权L2距离的特例，加权L2距离比L2距离适用范围要广[8-9]。在很多情形下，加权L2距离比L2距离能够更为合理地描述模糊数之间的差异，这是因为针对具体的问题，可以选择适合该问题的权函数。

区间数是一种特殊类型的模糊数，其形式非常简洁，执行的速度很快。区间数在不确定信息处理中起到了重要作用[3]。Grzegorzewski[4]讨论了L2距离意义下模糊数的最近区间逼近，引发了学界对模糊数逼近问题广泛而持续的关注。

本文讨论了基于加权L2距离的模糊数的最近区间数逼近问题。因为L2距离是加权L2距离的特例，该结果推广了文献[4]中的相关结果。

1 模糊数空间及其上的加权L2距离

本节介绍模糊数的基本概念，相关内容可参见文献[1-3]。

设u∈F(R)，称u是一个模糊数，如果u满足：ⅰ) [u]1≠Ø；ⅱ) 对α∈[0,1]，[u]α是R中的有界闭区间。用E记全体模糊数。

若φ满足φ:[0,1]→[0,+)则称φ为权函数。在很多具体问题中，权函数φ被要求为严格递增函数。

容易验证距离dq,φ满足:ⅰ)非负性dq,φ(u,v)≥0；ⅱ)对称性dq,φ(u,v)=dq,φ(v,u)；ⅲ)三角不等式dq,φ(u,v)≤dq,φ(u,w)+dq,φ(w,v)。但是dq,φ未必满足正定性，因而dq,φ未必是度量。关于dq,φ何时成为度量的讨论参见文献[9]。

2 基于dq,φ的模糊数最近区间逼近

本节讨论在dq,φ距离意义下任意模糊数的最近区间逼近。

(1)

3 最近区间逼近算子Ιφ的性质

本节探讨算子Ιφ的基本性质，指出Ιφ为线性算子，并发现了Ιφ为dq,φ距离意义下的Lipschitz连续算子。这一重要性质意味着dq,φ距离意义下的模糊数最近区间逼近具有稳定性，即只要u的变化较小，则Ιφ(u)的变化也较小。

定理1 设u∈E，则[u]1⊆Ιφ(u)⊆[u]0。

证明 直接计算可得。

注1 从Ιφ(u)是u的最近区间逼近这个事实，也可以直接推出[u]1⊆Ιφ(u)⊆[u]0。

定理2 设u,v∈E，r∈R，则：ⅰ)Ιφ(u+v)=Ιφ(u)+Ιφ(v)；ⅱ)Ιφ(ru)=rΙφ(u)。

证明 从Ιφ(u)的定义可得结论。

定理3Ιφ是从(E,dq,φ)到(I(R),dq,φ)的Lipschitz连续函数，其Lipschitz常数为1。