一类分数阶脉冲微分方程反周期边值问题解的存在性与唯一性

仝 荣，胡卫敏

（伊犁师范大学 数学与统计分院，新疆 伊宁 835000）

0 引言

近年来，分数阶微分方程在流体力学、流变学、粘弹性力学、生物、生态和工程等领域均有着广泛的应用。同时分数阶微分方程边值问题的理论研究也取得了许多有意义的成果，因此关于分数阶微分方程反周期边值问题的研究受到了越来越多国内外学者的关注［1-4］。然而，对于非线性项含有分数阶导数的分数阶微分方程的反周期边值问题的研究，特别是在脉冲条件下的研究成果相对较少。因此，本文对此类分数阶微分方程做了进一步研究。

文献［5］研究了分数阶脉冲微分方程反周期边值问题

解的存在性，其中为Caputo 型分数阶导数。

文献［6］研究了分数阶微分方程反周期边值问题

解的存在性，其中1 ＜α＜2,0 ＜β＜α-1为Caputo 型分数阶导数。

文献［7］研究了分数阶脉冲微分方程反周期边值问题

解的存在性，其中CDα为Caputo 型分数阶导数。

本文研究分数阶脉冲微分方程反周期边值问题

解的存在性和唯一性，其中f∶[0, +∞)×[0, +∞)→[0, +∞)是连续函数为标准的Caputo 型分数阶微分。其脉冲项为

为方便起见，引入下列记号，J=[0,1] ，0 ＜t1＜t2…＜tk＜…＜tm＜1 ，令t0=0,tk+1=1 ，J0=[0,t1] ，J1=(t1,t2]，J2=(t2,t3],…,Jk=(tm,1]，J′=[0,1]{ }t1,t2,…,tm。

1 预备知识

定义1［8］函数f∶(0 , +∞)→R 的α(α＞0)阶 Caputo 分数阶导数定义为

式中，n=[α]+1，[α]表示α的整数部分。

定义2［8］函数f∶(0 , +∞)→R 的α(α＞0)阶 Riemann-Liouville 积分定义为

式中，右边是在[0，+∞)上逐点定义的。

引理1［5］令α＞0 ，如果u∈C[0,1]⋂L(0,1) ，则分数阶微分方程有唯一解

引理2［2］若则有

式中，N 是大于或等于α的最小整数。

引理3［6］令E是Banach 空间，假设 Ω 是E的有界开集，θ∈Ω ，并且令T∶→E是全连续算子，使得‖Tu‖≤‖u‖ ,∀u∈∂Ω成立，则算子T在上存在不动点。

引理 4［7］假设E是一个 Banach 空间，T∶E→E是全连续算子，且集合是有界的，则T在E上至少存在一个不动点。

引理5［9］（Banach 压缩映射原理） 设(X,d)是完备的度量空间，若T∶X→X是一个压缩映射，则T在X中有且只有唯一不动点。

引理6设f∈C[0,T],2 ＜α＜ 3,1 ＜β＜2,则分数阶脉冲微分方程反周期边值问题

有唯一解，即

证明由引理2 知

由脉冲条件得

因此，

由边值条件u′(0)=-u′(T)得

因此，

由边值条件u(0)=-u(T)得

综上，当k=1,2,…,m时，反周期边值问题（1）的解为

2 主要结果

定义算子T∶PC(J,R)→PC(J,R)，对 ∀u∈PC(J,R)，令

定理1若则分数阶微分方程反周期边值问题（1）至少存在一个解。

证明 第一步证明T:PC(J,R)→PC(J,R)是一个全连续算子。

设Ω⊂PC(J,R)是有界集，即对 ∀t∈J,u∈Ω，存在正常数Li＞0(i=1,2,3,4)，使得|f(t,u)|≤L1,|Ik(u)|≤L2,|Qk(u)|≤L3,|Jk(u)|≤L4成立。因此，

另一方面，∀t∈Jk,0 ≤k≤m，则有

第二步证明T等度连续。

对 ∀t1,t2∈Jk，且t1＜t2,0 ≤k≤m，有因此，T在J(k=1,k2,…,m)上等度连续。

由Arzela-Ascoli 定理知，T:PC(J,R)→PC(J,R)是全连续算子。又因为

即对∀ε＞0，存在一个常数r＞0，使得对于成立。满足

所以，‖Tu‖ ≤‖u‖ ,u∈∂Ω。

因此，由引理3 知，算子T在上至少存在一个不动点，即反周期边值问题（1）至少有一个解u∈。

定理2假设存在正常数Li(i=1,2,3,4)，对 ∀t∈J,u∈R,k=1,2,…,m，使得

则分数阶脉冲微分方程反周期边值问题（1）至少存在一个解。

证明由定理1 知，算子是全连续的。设是有界的。即若u∈V，则u=μTu,0 ＜μ＜1 。对 ∀t∈J，有

因此，对 ∀t∈J，有

即V是有界的。

所以，由引理4 知，算子T至少存在一个不动点，即反周期边值问题（1）至少有一个解。

定理3假设存在正常数Ki(i=1,2,3,4)，对t∈J,u,v∈R,k=1,2,…,m，使得

这里有

则反周期边值问题（1）有唯一解。

证明对 ∀u,v∈R，有

因此，‖Tu-Tv‖ ≤Λ‖u-v‖ 。

即T是一个压缩映射。由引理5 知，映射T存在唯一不动点，即反周期边值问题（1）有唯一解。