关于极限概念教学中引入数学文化的一些思考

张文彬

【摘要】极限是经济数学中一个很重要的概念.不少初学者在学习这一概念时，非常难理解.本文从数学文化这一角度，试着引入一些相关的案例帮助初学者更好地理解极限的概念.

【关键词】极限;数学文化;案例;哲学思想

【基金项目】广东省高等教育教学改革项目：将数学文化融入独立学院经济数学课程中的案例研究，粤教高函[2016]236号.

极限理论是整个经济数学的核心理论，极限理论的核心是极限概念.后续所学的导数、微分、定积分、无穷级数等都是建立在极限概念的基础上.而经济数学的教学对象在高中阶段大部分是文科生，他们在理解极限概念中“无限增大”“无限趋近于”等语言时困难重重.因此，探讨设计浅显易懂的极限教学案例与方法，显得尤为重要.本文从古诗词中蕴含的有限与无限、古代与极限相关的经典例子、极限中蕴含的哲学思想这几个方面探讨极限的教学.

一、古诗词中蕴含的有限与无限

经济数学中的极限是在“无限”领域里讨论的，这与中学数学所学的“有限”领域里讨论的知识有着本质区别.我们可以从古诗词中来感受这种区别.

（一）与有限相关的诗词意境

唐代诗人柳宗元的《别舍弟宗一》：“零落残魂倍黯然，双垂别泪越江边.一身去国六千里，万死投荒十二年.”这里，“一身”，足见其孤独无助;“万死”，愈见其劫难深重.南宋词人辛弃疾的《西江月·夜行黄沙道中》：“七八个星天外，两三点雨山前.旧时茅店社林边，路转溪桥忽见.”此处，“七八个”“两三点”是有限的数，形容广阔的天空只有点点繁星，小雨也不过一点点.

（二）与无限相关的诗词意境

唐代诗人李白《浪淘沙》：“白浪茫茫与海连，平沙浩浩四无边.暮去朝来淘不住，遂令东海变桑田.”这里，“茫茫”和“无边”是无限之意.

二、渗透数学文化的经典极限案例

极限概念不是凭空产生，它来自社会实践，来源于现实生活，是经过数学家们的千锤百炼，最终被提炼成概念.因此，了解极限思想的产生对理解极限的概念很有帮助.

（一）“截杖问题”

《庄子·天下篇》中有一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是，一根一尺长的木棒，每天截取它的一半，一万年也截不完.我们从中得到一个木棒剩余长度与天数的数列12n-1，在平面直角坐标系中（如图1所示），标出相应的点n，12n-1，观察当n→∞时动点n，12n-1的运动趋势，就可以看出，当自变量n越来越大时，数列12n-1无限趋于0.

（二）割圆术

我国魏晋时期数学家刘徽为求得圆周率π的值，创立了“割圆术”，他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合體而无所失矣.”意思是，作圆的内接正多边形，当圆内接正多边形的边数无限增加的时候，圆内接正多边形的周长无限趋近圆周长，圆内接正多边形的面积无限趋近圆面积.在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算圆面积.为此，先作内接正6边形，它的面积记为A1;再作内接正12边形，面积A2;再作内接正24边形，面积A3;依此下去，每次边数加倍.一般地，把内接正6×2n-1边形的面积记为An（n=1，2，3，…）.这样，就得到由内接正多边形面积依次排成的数列：

A1，A2，A3，….

n越大，内接正多边形与圆的差别就越小.即当n无限增大时，An无限接近于圆面积.

（三）阿喀琉斯追龟

阿喀琉斯是古希腊一位跑得很快的英雄，现在要去追赶在他前面不远、行动十分迟缓的乌龟，结果似乎是毋庸置疑的.但是，古希腊哲学家芝诺却说：“不能.”他是这样证明的.如图2所示，假设乌龟先往前爬一段距离a1到达A1点，阿喀琉斯要想追上乌龟，必须先跑完距离a1到达A1点.当阿喀琉斯到达A1点时，乌龟此时又往前爬了一段距离a2到达A2点.阿喀琉斯要想追上乌龟，又必须先跑完距离a2到达A2点.当阿喀琉斯到达A2点时，乌龟此时又往前爬了一段距离a3到达A3点.如此下去，当阿喀琉斯到达A3点时，乌龟又爬到了A4点.这样阿喀琉斯永远也追不上乌龟.

这当然与我们的常识相违背，但芝诺却得出了荒谬的结论.那么，我们如何破解芝诺的荒谬结论呢？

芝诺将路程分成了无限段，从表面上看阿喀琉斯想要追上乌龟必须跑完无限段路程，由于是无限段，所以感觉永远也追不上.但是，事实上这无限段路程的和却是有限的，所以阿喀琉斯跑完这一有限路程之后，其实已经追上乌龟了.

三、极限中蕴含的哲学思想

极限是研究变量变化趋势的一种数学方法，体现了辩证法思想.理解极限中蕴含的哲学思想对理解极限概念非常有帮助.

（一）极限中蕴含了量变引起质变的规律

辩证法认为：量的变化积累起来，达到一定的程度，就不可避免地引起质变.“截杖问题”中木棒剩余长度与天数的数列12n-1，每取一个天数n，都会对应一个具体的木棒剩余长度12n-1.天数n取得越大，木棒剩余长度12n-1就会越小，这是一个量变的过程.但是，这个量变过程无限积累，就会导致质变的产生——木棒剩余长度为0，从而体现了量变引起质变的规律.

（二）极限中蕴含了对立统一的规律

极限的过程是无限的，但最终得到的结果往往是一个有限的数.比如，“截杖问题”中截取的过程是无休止的，但木棒剩余长度的极限是0.这体现了有限与无限的对立统一，也体现了过程与结果的对立统一，同时也体现了变与不变的对立统一.

四、结 语

在极限概念的教学中，引入数学文化案例能增加课堂的趣味性，吸引学生主动探究极限概念的形成，使学生更加有信心学好极限理论.同时，适当展示一些图片，使抽象的极限思想具体化.但一堂课不宜过多地引入数学文化案例，以免影响正常的教学进度，可以在课前布置一些数学文化相关的案例供学生阅读.

【参考文献】

[1]顾沛.数学文化[M].北京：高等教育出版社，2017.

[2]张晓光，王新霞，王春，等.浸润数学文化的极限概念案例教学[J].高师理科学刊，2016（4）：53-58.

[3]秦凤雯.极限的方法及哲学思想[J].教育教学论坛，2011（3）：132-133.