“等分除”和“包含除”引发的教学思考

吴润洪

我校一位青年教师在讲授青岛版教材二年级下册“表内除法”时，有两道题让他犯难了。

题一：请画图表示12[÷]3。

以下是学生的几种典型画法：

画法1：画12个圆圈，将每4个圈作1堆，共分为3堆。

画法2：画12个圆圈并将它们分为4堆，每堆3个。

画法3：画12个圆圈，3个3个圈起来。

单看画法1和画法2，更像乘法算式的图例，完全没有除法算式的痕迹。如果判学生错，可课本上又有既可列出乘法算式又可列出除法算式的图示。形如这样的“双关图”，课本上随处可见，这揭示了乘法与除法之间的互逆关系，那么学生这样作图也无可厚非。

题二：15[÷]3不但能表示将15等分成（ ）份，每份是（ ），而且能表示15里面有（ ）个（ ）。

按照参考答案，第一层含义学生很容易想到，第二层含义理应是15里面包含（5）个（3），而非（3）个（5），多数学生在此处栽跟头。就算教师细致解析后，仍有不少学生受乘法含义的负迁移影响，认为原式解读为15里面包含有3个5或5个3都说得通。针对此争议，教师也是各执一词。

一、两种分法引起的分歧

观点一：之所以出现上述分歧，归咎于教师教学时没有教会学生分辨“等分除”和“包含除”。教师应沿用旧版教材的做法，将“等分除”和“包含除”分开讲授，而且要让学生严格区分，做到泾渭分明，绝不含糊其辞，这样分歧就会消除。

观点二：既然新教材没有将“等分除”和“包含除”区别开来，那么在教学中教师也不应自找麻烦，给学生增加学习负担。因此对于题一，各种画法均无不可，不同画法刚好体现了学生个性;题二中的“另类”填法，也有一定的合理性，不应全盘否定。

二、产生分歧的根本原因

教师之所以相持不下，症结就在于教学重点不一致;而学生的回答千差万别，也归因于对除法的含义理解有偏差。因此，笔者认为有必要管控分歧，统一意见，进一步厘清“除法的含义”的教学思路。

青岛版教材“除法的初步认识”一课，第一步设置的是“平均分”的模型。平均分是除法的基本模型，也是数学运算的一个常用概念。教材高度重视“平均分”的前概念巩固，“等分除”和“包含除”都是建立在平均分的基础上的。不少教师忽视“平均分”前概念的引入，而侧重于除法算式的计算技能训练，或者沿袭旧教材的两种分法。在学生基础薄弱的情况下，教师强行区分两种算法无异于揠苗助长。

在教学“表内除法”时，绝大多数学生在做题时都能正确列出算式，机械搬用较大数除以较小数。这种形式上的正确掩盖了理解上的问题。许多教师也止步于此，只要学生会列式和计算就睁一只眼闭一只眼，对算理算法一带而过，导致学生对除法的理解很浅薄。

三、教学应对策略

基于此，应让操作、观察、讨论等活动贯穿“除法的含义”教学的始终，让学生经历“平均分”的分配操作，为学生认识“除法”积累经验。在教学“用除法算式表示平均分”时，可给学生分配学具，让学生通过操作过程理解除法算式各部分的含义。在解决问题时，除了要求学生能够正确列式外，也应要求学生根据算式含义来摆弄实物。通过反复体验除法算式的形成过程，使学生对平均分有更深刻、更全面的认识，能够意识到算式的不同含义是因为平均分的方式不同而造成的，从而全面掌握除法含义。在列式计算后，教师要引导学生分析研究计算过程体现了哪种分配方案。通过这样的分析研究，学生在深入理解除法概念的基础上，对两种分配法的实质也有了更清晰的认识。

而练习一定要注重质量，练习时不忘让学生陈述理由。如先让学生按规定程序解说“分什么？”“怎么分？”“分了之后怎么样？”，说清楚之后，再反过来理解算式，这样学生自然可以理解两种分法的异同。练习时，也可在列举大量事例后进行总结归纳，如在解决问题时，可让学生简述题意，如学生表述困难也可分点说明。表达的方式多种多样，除了口头语言表达之外，也可作图说明。教师可引导学生读图，先说明图意，再作图，然后按图列式。教师应允许学生个性化作图，标新立异。练习时可让学生根据问题“画图”，或者根据插图编题。只有书面与口头语言双管齐下，才能内化知识，提高效率。

总之，在遇到师生都感到困惑的问题时，教师应先将知识的发生发展过程、编者的用意和学生的理解程度调查清楚，只有这样才能从根本上抓住解决问题的关键。

（責编 童 夏）