车削粗糙表面形貌的小波频谱分析*

安 琪1 索双富 林福严1 时剑文

(1.中国矿业大学(北京)机电与信息工程学院 北京 100083；2.清华大学机械工程系设计工程研究所 北京 100084)

表面粗糙度是评价机加工零件的重要指标，直接影响零件性能，如耐磨损性能、耐腐蚀性能、配合面的接触刚度以及配合性质，结合面之间的接触行为对机械系统的性能和寿命有着重要的影响[1]。微观表面形貌蕴含丰富的信息，若将其中的信息提取出来并在加工之前进行控制，将会大大改善加工表面的质量。基于信号分析的思想，复杂信号可以看做是若干简单信号分量之和，可以针对这些分量的组成情况来分析原信号的特征[2]。表面形貌可看做是一种多因素耦合影响的信号，信号分析较为成熟方法之一是频谱分析[3]。

表面形貌信号并非平稳信号，高低频信息相互干涉，直接进行形貌的频谱分析很难提取出直观的信息。近几年，信号的小波分析弥补了频谱分析的不足。以多尺度、多分辨率的优势被广泛应用于信号处理[4]。粗糙表面形貌包含多尺度的特征，为了准确合理地评价这种多尺度信号，需要一个灵活的时域和频域分辨率[5]。LEE等[6]利用小波变换描述工程表面的形貌，提出了该方法可适用于控制产生一定粗糙度的表面。LIN等[7]将小波变换用于提取二氧化钛纳米晶体薄膜的表面形貌特征，得出表面粗糙度增加的原因。JIANG等[8]采用3种不同的小波建立表面信号过滤方程，将其应用于微细表面奇异特征值的提取。随后，许多学者将小波分析与不同机加工方式所形成的表面形貌特征相结合，进行了相关研究工作[9-15]。但是上述研究大都基于小波变换的多尺度分层优势，对于表面形貌数据没有进一步地进行分析处理。

本文作者结合小波分析的信号多尺度分解优势，对复杂的表面形貌信号进行处理。在验证方法可行性过程中，发现若将原始信号直接进行小波分层，每层重构信号会出现频率混淆与错误频率的问题。对此，采用信号处理相关算法的过程分别进行分析与纠正。采用自定义构造函数的方式验证了算法的正确性与合理性。最终将改良算法应用于三维白光干涉表面形貌仪所测试的车削表面的分析与处理，得到信号数据在各频带范围下的真实频谱，并开展了导致表面形貌变化的因素分析。

1 小波频谱分析改进算法

1.1 信号的小波分析

小波信号分解原理：小波对原始信号进行逐层分解，每一层信号都可看作是高频与低频两种成分的叠加，分解的过程则是将信号中的高频信号提取出来，继而对低频信号进行下一层的分解。随着分解层数的增加，低频信号就能很好地分解出来，实现对原始信号的多尺度、高分辨率解读。

图1所示为小波三层分解的原理图，图中λ1(z)、λ2(z)、λ3(z)与γ1(z)、γ2(z)、γ3(z)为分解层数i=1，2，3下的逼近信号与细节信号。h(z)、h(z2)、h(z4)与g(z)、g(z2)、g(z4)为分解层数i=1，2，3下的低通滤波器与高通滤波器。其中x(z)=λ1(z)+γ1(z)=λ2(z)+γ2(z)+γ1(z)=λ3(z)+γ3(z)+γ2(z)+γ1(z)，按照三层分解的原理，可实现分析信号的多尺度分解。

图1 小波分层原理图

(1)

式中：2-m为尺度因子；k为平移因子。

任意信号f(t)∈L2(R)(平方可积函数空间)的离散小波级数表示为

(2)

小波分解系数可表示为

(3)

1.2 信号的频谱分析

频谱分析则是一种将复杂信号分解为简单信号的技术。直接对复杂信号进行傅立叶变换，得到各分解信号的幅值在不同频率下的信息。信号的傅立叶变换公式[16]如下所示：

(4)

式中:ω为频率；t为时间；f(t)为原函数；e-jωt为复变函数；f(ω)为象函数。

对信号进行频谱分析时，由于频谱变换的对称性，频率范围一般取采样频率的1/2，即[0，fs/2]。并且信号的采样点数需要取2n个，否则在信号频谱分析过程中会将缺失的点补零，把信号补到2n的长度，频谱计算将失准。

如上所述，结合频谱分析的信号频谱特征表现与小波分析的信号多尺度分解优势，将车削表面形貌复杂信号进行频带划分，对各频带重构信号进行频谱分析，可以实现信号各频带信息的特征提取。

2 算法的实现与改进

2.1 算法的验证

结合小波分析与频谱分析，可以将复杂的表面形貌数据进行各频带信号的提取与表征。在处理表面形貌信号时，首先采用自定义构造函数的方法进行算法上的验证。

假设信号为正弦波叠加而成，各子信号的频率分别为5、35、75、150 Hz，则构造的函数形式如下所示：

x=sin(10πt)+sin(70πt)+sin(150πt)+sin(300πt)

(5)

选取采样频率为400 Hz，采样长度为2 s，可得到构造信号图像如图2所示。

图2 自定义构造函数图

直接对构造信号进行频谱分析可以得到频谱图如图3所示。可见，对于平稳信号直接进行频谱分析，可以得到信号的频率构成与各频率幅值的大小，得到的分析结果与之前构造函数的频率相同。

图3 函数频谱图

下面采用小波分层方法对所构造的信号进行频带划分，根据所构造的信号频率，将小波的分解层数定为三层。信号分层后，对每一层的重构信号进行频谱分析，所得结果如图4所示。

图4 函数的小波重构频谱图

按照小波分析中Mallat算法所得到的频带，理论上每个层次上的频率成分如表1所示。

由表1所示的实际分层得到的频谱可以看出，对小波分层重构信号的频谱分析出现两方面的问题：(1)出现与划分频带不相符的频率，即理论频带中出现其他频率的信号；(2)出现错误的频率，即出现与模拟信号不同的频率。

表1 小波分解理论频率分布

2.2 算法改进

想要找到问题的关键点，就需要分析信号小波分解与重构过程中数据的处理流程。信号分解与重构的流程包括3个步骤：(1)信号数据与滤波器进行卷积计算；(2)对滤波后的数据进行隔点采样操作；(3)对数据进行隔点插零处理。对于问题一，所出现的频率与模拟信号相同，但其幅值相比频带信号较小。最有可能的就是在数据与滤波器卷积的过程中，由于小波滤波器的边界效应所导致的频率泄漏，解决办法只有提高小波的阶数N，文中选取最大值N=10。而对于第二个问题，出现错误频率，并且与构造信号的频率完全不同。可能的原因就是数据在隔点采样与隔点插零过程中出现错误而导致的。根据对Mallat算法重构信号展开分析，倘若对信号数据分别进行隔点采样与隔点插零，这都将产生新的频率，若两者同时作用，所产生新频率会相互抵消，但是如果只是对信号其中的频带进行重构，由于滤波器的缺陷，隔点采样与插零的过程中则会产生新频率分量无法抵消的情况，从而导致了错误频率的出现。

上述分析表明，出现错误频率的根本问题在于滤波器的非理想截止特性，这是滤波器的固有特性，无法改变。所以文中直接采用傅立叶变换与逆变换对数据的频域直接截取的方法，去掉分析过程中无关的频率成分，同时保证了隔点取值与隔点插零频率分量相互抵消，进而实现数据在各频带分析中不会产生频率的混淆与错误频率产生的问题。经改进的算法，得到的各频带的频谱图如图5所示。

图5 改良算法得到的小波频谱分析图

由图5可看出，通过改进算法对平稳信号进行小波分解得到的频谱图，各划分频带没有频率混淆与错误频率出现。通过信号直接频谱分析与自定义函数频率对照两项结果的对比分析，验证了改进小波频带频谱分析处理信号算法的正确性与可行性。

3 车削表面信号分析

将信号处理的改进算法应用于车削表面形貌信号的处理，对表面形貌复杂信号进行频带划分，对各频带重构信号进行频谱分析，从频率(波长)的角度对车削表面形成的各影响因素进行了划分，最终实现信号各频带信号的特征提取。

3.1 车削表面形貌的采集

用三维白光干涉表面形貌仪对车削试样表面形貌进行测量，白光表面形貌仪采用非接触式白光扫描干涉原理，垂直分辨率可达0.1 nm，具有较高的测试精度。图6、7所示分别为粗糙度Ra1.6 μm的车削试样表面形貌，选取采样长度分别为3、0.83 mm，对应的采样间隔分别为2.931、0.815 μm。

图6 3 mm采样长度下的表面形貌

图7 0.83 mm采样长度下的表面形貌

3.2 车削表面形貌信号的处理与分析

由图7、8所示的表面形貌可以看出，车削加工表面在长度方向具有很强的规律性，形貌的重复性较强，就直观表现而言，车削加工的表面形貌呈现各向异性，可以进行三维形貌的二阶谱矩判断，这已有相关文献证实[17]，这里不再赘述。运用车削表面的各向异性与各截面较高的相关性，可以将三维表面分析进行降维处理，简化处理过程。因选取的试样为外圆车削表面，为方便分析对其进行平面化处理，三维重构形貌如图8、9所示。对原始数据进行重构，并采集了一组截面数据进行了二维小波分析。不同采样长度下的二维形貌如图10、11所示。

图8 3 mm采样长度下的三维重构形貌

图9 0.83 mm采样长度下的三维重构形貌

图10 3 mm采样长度下的二维形貌

图11 0.83 mm采样长度下的二维形貌

由图12、13可以得到以下结论：(1)同一车削表面在不同采样间隔下，表面形貌大致相同，频谱的主频信号大致相同；(2)不同采样间隔下得到的表面形貌略有差别，采样间隔更小时，获得的表面形貌更精细，这就导致在采样间隔小的情况下，出现更高的频率；(3)信号直接的频谱分析，频率成分较多，无法直接判断各个频率信号影响因素的来源，并且反映细节部分的高频信号在整体频谱图上幅值相对较低，直接分析难度较大。

图12 3 mm采样长度下的频谱

图13 0.83 mm采样长度下的频谱

下面将采用小波分层对信号进行各频带的分解，针对各频带重构信号进行频谱分析，对影响车削表面形貌的各个因素进行对应寻找。

3.3 车削表面形成的影响因素分析

对于实际的粗糙形貌可分为3个组成部分：表面粗糙度、波纹度与形状误差。由于文中选取的处理信号总采样长度为0.83 mm，由经验与理论的结论，两波峰或者波谷之间的距离(波距)λ<1 mm时，按表面粗糙度处理，因此文中只考虑粗糙度形成的影响因素。

将影响车削表面形貌的影响因素按照频率(波长)划分为3个部分，频率(波长)由高到低依次为机床主轴的高频振动、刀具的振动、加工参数(刀具的形状、加工的进给量与背吃刀量等)。其中刀具的振动又可分为机床引起的振动与切削过程切削力变化引起的振动。针对表面形貌形成的各影响因素，基于第一节小波改进算法，文中将车削表面信号进行6层分解，经分析，信号的采样频率(波长)相对于信号的频率(波长)较大，前两层的信号频率较高，签于篇幅限制文中不予显示，最终得到其他频带的频谱如图14所示。由各频带频谱图结合车削表面形貌形成的原因可以得到如下结论：(1)信号波长为0.02～0.06 μm-1时，为波长相对较大的成分，又可将其划分0.02～0.04 μm-1和0.04～0.06 μm-1两个部分，分别对应机床的刀具振动与机床主轴的高频振动，振动的幅值在0.2 μm以内，只是在波长范围内存在差异；(2)信号波长为0～0.01 μm-1范围内，对应信号幅值为2 μm，这与加工参数的影响相互对应；(3)信号波长为0.01～0.02 μm-1范围内，对应信号幅值为0.4 μm，这表现为切削过程中切削力变化所引起的影响。

针对影响粗糙度形成的多种因素，结合车削表面形貌频带的频谱分析，找到了各频带与各影响因素的对应关系，进而可通过改变各影响因素达到控制最终表面形貌的目的。其中对于高频信号，产生原因可归为振动所造成的，只能通过改变机床的性能进行改进。对于低频信号，则是由于加工参数(刀具的形状、加工的进给量与背吃刀量等)等因素造成，属于人为可控的因素。在保证加工件表面质量的的理想前提下，改变各加工参数，可以得到更加符合实际需求的、接近理想要求的表面形貌。

图14 小波分解各频带信号频谱

4 结论

(1)对小波变换信号的频谱分析算法进行了改进，解决了分解过程中出现的频率混淆与错误频率产生的问题，采用自定义组合函数的方式验证了改进算法的正确性与可行性。

(2)利用小波分析的信号多尺度优势，将改进的信号处理算法应用于车削表面形貌的信号分解，对表面形貌信号进行频带划分，对各频带重构信号进行频谱分析，最终实现信号各频带信息的提取。

(3)结合车削加工表面粗糙度形成的各影响因素，得到各频带信号与影响因素之间的对应关系，为改善车削加工表面的粗糙度提供了理论支持。同时，也为车削表面模拟，也就是车削表面的数字化，提供了相关技术基础。