浅谈分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性

卢树强

【摘要】近年来，分段连续型随即分方程被广泛应用在经济、物理、天文、生物、工程、信号等领域，因而普遍受到专家学者的关注。分段连续型随机微分方程不仅具有理论价值，还具有应用价值。本文主要分析分段连续型随机微分方程的重要意义，又解析分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性，并且给出了数值方法应用在分段连续型随机微分方程稳定的条件，证明这种数值方法保持和实现了精确解的稳定性。

【关键词】分段连续型随机微分方程;数值方法;收敛性;稳定性

一、分段连续型随机微分方程的重要意义

分段连续型随机微分方程与动力系统相对应，主要分为超前型、向前型、振动型等分段连续型微分方程。在现实生活中，对事物变化描述，主要分为两大类，一类是被内在规律支配，被描述为与时间t有关的一个确定性函数的确定性过程，另一类受外界环境影响，没有确定表达形式，是一种随机过程，例如花粉在液体中的无规则运动。

因此，分段连续型随机微积分方程作为一种有效工具，能够更加真实的对物理现象、生物进化过程以及控制理论等进行真实的描绘。

二、解析随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性

（一）数值方法的收敛性

Maruyama最早讨论和研究随机微分方程数值方法的收敛性，在1955年他给出最简的收敛方法是Euler法：

2000年，C.T.H Baker和E.Buckwar在文献中证明，在全局Lipschitz条件和线性增长条件下用于方程的Euler数值方法是0.5阶收敛的。

2002年，Higham等针对方程，证明了当系数f和g满足局部Lipschitz条件、解析解与Euler数值解的p阶矩有界时，Euler数值解是收敛的;并证明了系数f满足单边Lipschitz条件、g满足局部Lipschitz条件、解析解与Euler数值解的p阶矩有界时，Euler数值解是收敛的。

（二）数值方法的稳定性

关于数值稳定的定义，最早在1985年由Pardoux和Talay给出，之后很多学者就数值方法的稳定性给出研究和讨论。目前最具代表性的定义包括矩稳定、渐近稳定、T-稳定、指数稳定四种。

2000年，D.J.Higham针对线性试验方程，研究随机θ-方法的稳定性，引入渐近稳定性概念，并将渐近稳定性的分析转化成一对含有参数的随机变量期望值的估计，并将方程θ-方法推广到随机微分方程。

在随机微分方程的研究过程中，数值方法的稳定性和收敛性研究基本趋于完善，并取得较好的结果。

三、解析分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性

随机微分方程的稳定性的研究对随机微分方程一直有着重要的意义，本章主要考虑线性和半线性分段连续型随机微分方程稳定性，下面简单的给出一些收敛性和稳定性的论述。

dx（t）=（a1X（t）+a2X（＼[t]））dt+（b1X（t）+b2X（＼[t]））dB（t）

X（0）=X0

上述方程的精確解稳定性，半隐式Euler方法和Millstein方法的稳定性，戴红玉已经做出研究，将指数Euler方法应用于线性分段连续型随机延迟微分方程讨论了其均方稳定性，并证明出了当方程系数满足一定条件时指数Euler方法是均方稳定的，将指数Euler方法应用于半线性分段连续型随机延迟微分方程，讨论其精确解和数值解得均方稳定性。给出了均方稳定的充分条件。

2013年，张玲研究了分段连续型随机微分方程

dx（t）=f（X（t），X（＼[t]））dt+g（X（t），X（＼[t]））dB（t）

X（0）=X0

给出了当系数满足局部李普希兹条件和单调条件时，Euler-Maruyama方法是收敛的。随后，给出了一组数值试验来证明均方稳定充分条件，本数值试验主要通过考虑方程的系数和步长的改变，研究指数Euler方法的均方稳定性。

四、结论

在实际问题的研究中，研究系统很容易受到偶然因素影响，因此研究分段连续型微分方程具有重要的意义，本文主要探讨分析数值方法的收敛性和稳定性，运用指数Euler方法进行研究，给出数值方法均方稳定的充分条件，并用数值试验验证结论，证明这种数值方法保持和实现了精确解的稳定性。

参考文献：

[1]刘国清.分段连续型随机微分方程数值解收敛性与稳定性比较研究[J].大庆师范学院学报，2017（3）.

[2]巩全壹，张玲，王文丽等.线性分段连续型随机微分方程数值解的收敛性和稳定性[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2015，31（2）.

[3]张宏玉.自变量分段连续型随机微分方程解析解和数值解的稳定性[D].哈尔滨工业大学，2014.

[4]王红.带跳的分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性[D].哈尔滨工业大学，2015.

[5]张玲，刘国清.分段连续型随机微分方程θ方法的稳定性[J].黑龙江大学自然科学学报，2017.