“数的认识与运算”与数感培养

李露红

[摘 要]作为基本数学素养之一的数感，其培养的关键时期是小学阶段，特别是小学低学段。“数的认识与运算”这部分内容对于数感的培养尤其重要。教师可通过研究众多研究者对数感内涵的分析，准确把握数感的内涵，并结合“数的认识与运算”，探索培养学生数感的手段与途径。

[关键词]数感;数的认识;数的运算;具体形象;抽象

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）23-0075-03

一、问题的提出

在信息技术高速发展的今天，计算机的身影随处可见。在日常生活和工作中，我们似乎不再需要为了减少运算步骤而苦思简便运算方法，也不再需要抄起笔杆子在草稿纸上埋头苦算……毋庸置疑的是，数及其运算，无论是对数学这门学科还是对人本身的发展（比如智力），都是至关重要的。因此，我们应该理性认识“数的认识与运算”，不能随波逐流地去否定它，同时也不能闭门造车，要响应时代的召唤，思考如何才能做到符合学生发展、符合时代发展的有效教学。

2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》提出，“要使学生经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维”。自此，我国学者才开始重点关注数感，并开始对此进行比较系统的研究。 2011年，“数感”作为《义务教育数学课程标准（2011年版）》中十个核心概念之一被再次重点提出。可以发现，在这两个版本的数学课程标准中，数感的概念都与“数的认识与运算”这部分内容紧密关联。

二、数感的内涵

数感（Number sense）这一术语自1954年提出后就受到教育研究者和一线教师的强烈认同，并逐渐成为国际普遍接受的概念。其提出者将数感描述为：在个体没注意到的情况下，在一小堆物体中增加或者移除一个物体后，个体能够意识到这堆物体发生了变化的能力。也就是说，最初的数感可以理解为是个体对现实事物数量变化的一种感知能力。1992年，麦金托什等人进一步提炼了数感的定义：数感指的是一个人对数字和运算的一般理解力，以及灵活应用这种理解力的倾向和能力，用这种方式可以做出明智的数学判断，并开发出应用数学和运算法则的有效策略。在这种定义下的数感已经不仅仅是对现实事物量的变化的感知，而是对数与数的运算的进一步理解，并且能够将这种理解运用到相关的问题情境中去。

自2001年“数感”这一术语进入我国学者的视野以来，大量学者就对数感的内涵进行了一系列探究。张奠宙通过分析英文“Number sense”的含义并结合实际最终指出，“数感”指的就是能够用数量的意识考察事物发展的数量规律，并且善于用符号加以表示和运算。他对“数感”的理解并没有局限于“感觉”，而是强调了“意识”与“规律”，上升到了思维的层次。马云鹏和史炳星认为，数感是人们主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识，建立数感可以理解为会“数学地”思考。这进一步明确了数感含有“思维”的成分，数感并不仅仅是“感觉”，更是“思维”。叶蓓蓓提出，对于数感的培养在某种程度上可以认为是直觉思维的培养，同时还指出，数感作为公民的一种数学素养，更多地体现在一定情境中人们对于现实问题的数学化反应。这在明确数感是思维的基础上，强调了数感即是将面对的现实问题转为数学问题。2007年，徐文彬和喻平指出，数感并不是什么神秘的东西， 它只是我们对数字关系和数字模式的意识，以及运用这种意识灵活地解決数字问题的能力。他们企图将数感这个陌生而又熟悉的术语去神秘化，强调了“意识”和“解决问题的能力”，这也是在强调数感就是用数学的思维来解决数字问题。孔凡哲和曾峥通过具体的例子明确了数感是建立数概念和有效地进行计算等数学活动的基础，是将数学与现实问题建立联系的桥梁。他们进一步肯定了数感这个基本数学素养的重要性，不仅仅体现在数学活动中，更体现在实际运用中。

尽管研究者们对于数感内涵的理解各不相同，但很多研究者都认为培养学生数感更深层次的内涵不仅仅体现在数学这门学科中，更要让学生有意识地将接触到的现实问题与数量关系建立起联系，学会数学地思考，能够用数学的眼光来看世界。

三、小学阶段的数感

《义务教育数学课程标准（2011年版）》将中小学阶段的数感具体描述为：关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。这将数感形成的具体表现给描述了出来，更加有利于教师对于教学效果的把握。史宁中和吕世虎明确指出，数感发展的关键期是小学低年级。霍雨佳等人通过对国外的相关研究成果进行整理，同样发现数感发展的关键期在小学低年级。

根据皮亚杰提出的认知发展阶段理论，我们知道在小学1-3年级的学生，他们正处于具体运算阶段，也就是说这个阶段的学生还需要借助外界具体的实物来帮助理解和运算。同时，在日常学习中，很大一部分知识都是学生通过间接学习获得的。间接学习需要建立在一定的知识经验或者生活经验的基础之上，而小学低年级学生的知识经验匮乏，所以无论是从学生认知思维发展的角度出发，还是从实际出发，这个年龄阶段的学生主要依赖自己的生活经验或者具体而丰富的情境来进行数学学习，特别是最初对于“数的认识与运算”的学习。并且，数感强调的正是将现实问题与数量关系联系起来，那么小学低年级确实是培养和发展学生数感的关键时期。

四、“数的认识与运算”和“数感”

通过分析“数的认识与运算”在教材中的分布情况，也就是学生学习这部分内容的顺序，可以发现内容是循序渐进的，但知识体系并不是呈直线式分布。比如并没有要求在某一个时间段就把1～10000的数全部认识完，而是呈螺旋式分布，十分符合学生特别是小学低年级学生的认知规律，让他们能有一个将生活情境中的数学和课堂中的数学内化为自己的数学知识的过程。与此同时，该部分内容还特意穿插在一些“问题解决”的章节中，既让学生联系实际生活来理解了“数”与“数的运算”，又让他们初步运用“数”和“数的运算”解决了现实生活中的相关问题，自然而然地开始培养学生的数感。接下来具体分析“数的认识与运算”对于数感培养的重要性。

1.“数的认识与运算”源于生活

通过分析小学数学教材可以发现，小学数学知识是抽象概括的，也是生动形象而具体的，这非常符合前面分析的关于这个阶段学生的认知特点和思维水平。我们知道，小学生的思维模式正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，并且具体形象思维占优势，这一点在小学低年级体现得尤其明显。通过分析小学低年级具体学习内容也可以发现这一点。我们对此进行进一步分析，学生依赖具体形象思维学习的内容，正是学生需要借助具体情境来学习的内容。例如，对于比较小的数，学生主要是通过现实生活中或者具体情境中的事物的“量”来认识的，虽然仍然依赖于具体形象思维，但是认识数的过程包含了从“具体”到“抽象”的过程，学生在此过程中也能体会从具体形象思维到抽象逻辑思维的过渡。这只是初步的过渡，还没有实现完全的过渡。同样地，在学习“1～5的加减法”时，学生仍然需要借助具体的情境对事物的外部特征进行概括，如通过“1个苹果加上2个苹果，一共有3个苹果”“1个手指头加上2个手指头就是3个手指头”来理解为什么“1+2=3”。这可以说是学生从具体形象思维到抽象逻辑思维过渡的过程，但仍然处于具体形象思维阶段，因为学生只是能够对数学事物的外部特征进行概括，并没有涉及其本质特征或者属性特征。

正是由于这个阶段学生的学习依赖于具体形象思维，所以我们需要设置丰富的情境以便学生从中发现数学，并将生活经验迁移到数学学习中来，初步建立数感。

学生在进入小学阶段之前，对于简单的1个（苹果），2个（人），3个（皮球）、4只（小狗）……这样的“量”的多少已经有了一定的认识，那么要让学生认识数字“5”，就可以让学生通过5本数学课本、5支铅笔、5棵树来体会“5”的含义，还可以通过“一一对应”思想来培养学生的数感。例如，在比较“2”和“3”这两个数字的大小时，教材就创设了小兔和小猪搬木头建房子的情境，并通过“一一对应”，让学生先体会“同样多”与“同样大”，再体会“谁更多”与“谁更大”。比如：一只小猪对应一根木头，最后还剩下一根木头没有小猪与之对应，学生由此就可以比较容易得出结论——木头比小猪多。同样地，在教学过程中，教师可以就地取材，让学生数一数、比一比，然后和同桌说一说课桌上的铅笔有多少支、书有多少本，是铅笔多还是书多。这样一来，教师甚至不需要再点拨，学生自己就可以认识到“3”比“2”大。让低年级学生在丰富的情境、生活中认识数，这样不仅能让学生顺利实现从学前到小学的过渡，体会到数学学习的乐趣，而且能让学生輕松地将数字“1、2、3”与身边事物的量结合起来理解，为数感的培养创造良好的“思维”环境。

同样地，在教学“2+3=？”时，教材也是循序渐进的：先是设置了5个人在售票窗口排队取票的情境，让学生能够比较直观形象地理解“第几”的含义，队伍的最前面是“第1个人”，队伍的中间是“第3个人”;又设置了大家一起分花朵的情境，一共有4朵花，把这4朵花分为两堆，可以怎么分……同时，教师也可以让学生“动”起来，让他们数一数自己在教室里的第几排，使其初步体会到“1”“2”“3”不仅可以代表“量”的多少，还可以代表“顺序”，比如“第1个位置”和“第3个位置”，而通过分花朵活动，学生发现可以将4朵花分为一堆1朵、一堆3朵，也可以分为一堆2朵另一堆同样是2朵。这时，教师就可以自然而然地引出“数的加法”。在学生已经通过很多情境熟悉了“数的加法”之后，教师重现类似的情境。比如：有两个学生，学生甲有1只千纸鹤，学生乙有2只千纸鹤，放在一起一共有3只，将这3只千纸鹤放在桌子上，然后学生甲带着其中1只千纸鹤离开了，桌子上还剩下2只;小丑手里本来有4个气球，但是被风吹跑了2个，现在手里只剩下2个气球了。通过这样贴近生活实际且生动形象的情境，告诉学生可以用“数的减法”来描述上述场景中“量的减少”的变化过程。

可以发现，在最初的学习中，学生就是在具体的情境中依赖形象思维来学习和理解抽象的数与运算的。学生在这个过程中能够比较深刻地体会到数的一个含义——数可以用来表示量的多少，也可以用来表示顺序，由此实现对数的初步认识。所以说，“数的认识与运算”的学习是源于生活的。

2.“数的认识与运算”归于生活

对小学低年级中的“数的认识与运算”进行整理分析可以发现，虽然学生的认知水平和思维水平比较低，使得大部分内容的学习都需要借助生动形象的具体情境来进行，但考虑到数学本身具有抽象性、概括性的特点，加之小学阶段正是学生思维模式由具体形象向抽象逻辑思维过渡的时期，所以教材在具体内容的安排中，也着重体现了通过运用数的相关知识来解决实际应用中的简单问题，以此初步发展学生的抽象逻辑思维。同时，借助具体情境，从“现实”到“数学”，又从“数学”到“现实”，真正将“数学”与“现实”联系了起来，有效促进了学生数感的形成。

例如，创设生活情境：学校有1000名学生，今天二年级学生去春游，已知二年级一共有200人，那么今天还有多少学生在学校里呢？此处，由于1000和200这两个数字比较大，而且剩下在学校里的学生人数也比较多，要实际去数一数显然比较麻烦。此时，就要注意将之前通过身边事物的具体数量及其变化来认识数及进行数的加减运算的思维过程倒过来，把对数的认识以及对数的加减法的理解，应用于实际生活问题的解决中来，进一步体会生活和“数的认识与运算”之间的联系。

又如，在“测量”这一章节的学习中，教材给出了一个有趣的情境：四只可爱的小动物要过河，但是河上的桥限重1吨，这四只小动物的体重由轻到重分别是300千克、400千克、500千克和1000千克。通过教师的适当引导，学生的思维被调动起来，主动地思考这些小动物到底应该怎么过河呢？这是在学生掌握了“1吨=1000千克”的基础上进行的思考讨论，教师只需启发学生明白，解决这个问题需要提炼出这个情境的本质，即小动物过河关键是看它们各自的重量，而不是看它们的身高或其他因素，这也是一个进行抽象思维的过程。一方面，这个过程是将“数的认识与运算”的相关知识运用于解决生活问题，进一步将”数的认识与运算”和生活联系起来，促进学生数感的培养;另一方面，学生数感的发展又会反过来促进学生运用“数的认识与计算”解决现实问题。

再如，在进行“十进制”的相关学习时，要理解各个数位上的数所代表的含义，这是比较抽象的。比如“26”，要理解这里的“2”代表的是2个十，“6”代表的是6个一，需要依赖抽象逻辑思维，同时在已经初步建立的数感的基础上进行理解，就比较容易了。

可見，学生对“数的认识与运算”的学习与学生的数感形成，其实是相互促进、相互影响的。

数感作为人的基本数学素养之一，不仅是学习数学这门学科的基础，而且能促进学生将现实问题与数量关系建立起联系。小学低年级是学生数感形成的关键阶段，教师要充分利用“数的认识与运算”的教学培养学生的数感。在教学中，要注意设置丰富而生动的情境帮助学生学习，促进形成和发展数感。学生一旦形成了数感，反过来又可以促进“数的认识与运算”的教学。

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（责编 吴美玲）