弹簧和单摆的周期与能量关系探讨①

(福建省厦门集美中学，福建 厦门 361021)

循环往复的周期性运动是自然界中较为普遍的运动方式，例如钟摆、潮汐、生理节律(生物钟)，简谐运动则是周期性运动中最基本的一类运动。“振动和机械波”作为高中物理中的重要内容，既是教学的重点更是学习的难点，其中一个核心的物理量是系统振动的周期。众所周知，弹簧振子的振动是简谐运动，振动的周期与弹簧的劲度系数以及振子的质量有关，作为弹簧振子的延伸，单摆则是另一类典型的周期性运动。由于单摆运动涉及机械能守恒和角动量定理，学生往往难以掌握，值得物理教师对该类问题作深入的研究。

当物体的摆幅很小时，可以将单摆运动与弹簧振子的简谐振动作类比，得到其周期公式，从量纲分析的角度也可以得到相关公式。[1]但是当物体的摆幅较大时，周期也将随之改变，单摆的周期与最大摆角有关。[2-4]因此如何站在更高的高度深刻理解单摆周期，定量给出单摆周期的一般公式，应为物理教师所了解。

本文将从简谐运动出发，从线性回复力拓展至非线性回复力，从能量守恒的角度，并结合非线性变换，定量地确定该类系统的周期与各参数的关系。并将这一方法运用至单摆，定量地给出任意摆幅的单摆周期公式，我们将看到系统的运动周期与初始能量相关。

1 非线性回复力系统周期的确定

特别的是，当n=1时可以退化为弹簧振子情况。

2 单摆周期与机械能的关系

3 结语

笔者从简谐运动出发，探讨了非线性回复力振子运动周期的一般公式，根据能量守恒定律，并结合非线性变换，得到周期T与机械能E0的关系，发现T与E0的幂级数成反比。特别地，我们将这一结论运用至单摆，得到一般条件下单摆振动周期的表达式。本文的研究可以将简谐运动与单摆等非线性振动有机统一起来，为进一步的实验探究作理论铺垫，同时也可以深化物理教师对机械能守恒的认识，开阔教学视野，提升教学素养，为解决其他类似问题提供借鉴。