四周均布剪力作用下含圆孔无限大矩形薄板力学性能的理论研究

赵剑峰　孙大珩　徐科文　汪佳伦　邢凯　张扬

摘 要：应力集中严重影响开孔构件的承载能力和使用寿命。由此，本文对四周均布剪力作用下含圆孔无限大矩形薄板的力学性能进行理论研究，得到应力的解析解，并基于理论研究结果对孔口应力集中情况进行讨论。

关键词：圆孔;无限大矩形薄板;均布剪力;应力集中

Abstract： Stress concentration seriously reduces the bearing capacity and service life of the member with holes. In this paper， the mechanical properties of infinite rectangular thin plate with circular holes under uniform shear force were studied theoretically， and the analytical solution of stress was obtained. Based on the theoretical results， the stress concentration at the orifice was discussed.

Keywords： circular hole;infinite rectangular thin plate;uniformly distributed shear force;stress concentration

开孔、开沟槽等构件被广泛应用于机械制造、土木工程等领域。若受力弹性体具有小孔，则孔边的应力远大于无孔时的应力，也远大于离孔稍远处的应力，这种现象称为应力集中。应力集中会降低构件的承载能力，在小孔附近区域易出现疲劳裂纹，也会使脆性材料制成的零件发生静载断裂，尤其是一些内部开裂，是很难被发现的。上述问题会对构件的使用寿命产生极大的影响，同时也会带来较大的安全隐患。因此，对开孔构件的应力集中情况进行研究尤为必要。本文拟基于弹性力学的基本原理，对四周均布剪力作用下含圆孔无限大矩形薄板的力学性能进行理论研究，并基于理论研究结果对孔口应力集中情况进行讨论。

1 理论分析

设有一无限大矩形薄板，在板的中心位置有一半径为r的小圆孔。在无限大矩形薄板的四周受到均布剪力q的作用，不计体力，如图1所示。

四周均布剪力作用下含圆孔无限大矩形薄板问题属于弹性力学平面应力问题。由弹性力学知识[1-3]可知，矩形板边各点处于纯剪切平面应力状态，计算得到板边各点的主应力和主方向是：

四周均布剪力作用下含圆孔无限大矩形薄板问题可以转化为在两个相互垂直方向上分别受均布拉力q和均布压力q作用的含圆孔无限大矩形薄板问题，如图2所示。

由于圆孔很小，由圣维南原理[1-3]可知，离孔较远处的应力与无孔时的应力是一样的，所以，首先假设无限大矩形薄板中心没有圆孔，如图3所示，计算此时矩形薄板的应力分量。

第一，采用逆解法[1-3]。假设如式（3）所示的应力函数：

2 讨论

由四周均布剪力作用下无圆孔和含圆孔的无限大矩形薄板的应力分量的解析解可知，当中心无圆孔时，其应力分布只与有关，而与[ρ]是无关的;当中心有圆孔时，其应力分布不仅与有关，而且与有关，越趋近，环向正应力越大，即圆孔处的环向正应力最大。

四周均布剪力作用下含圆孔无限大矩形薄板的-45°和45°方向的环向正应力[σφ]随着[ρ]的变化规律曲线如图5所示。环向正应力[σφ]在孔口-45°和45°方向取得极值。通过对比四周均布剪力作用下的无限大矩形薄板的中心有圆孔和无圆孔时的应力解答，可以得到四周均布剪力作用下含圆孔无限大矩形薄板的应力集中系数是4.0。

3 结语

本文利用弹性力学平面问题应力法完成对四周均布剪力作用下含圆孔无限大矩形薄板力学性能的理论分析，得到应力的解析解，并基于理论研究结果对孔口应力集中情况进行讨论。研究结果表明，四周均布剪力作用下含圆孔无限大矩形薄板的环向正应力[σφ]在孔口-45°和45°方向取得极值，应力集中系数是4.0。

参考文献：

[1]徐芝綸.弹性力学[M].5版.北京：高等教育出版社，2016.

[2]王敏中，王炜，武际可.弹性力学教程[M].北京：北京大学出版社，2002.

[3]杨桂通.弹性力学[M].北京：高等教育出版社，2005.