a^c与c^a的比较大小问题的一点思考

李源

摘 要：本文研究ac与ca的比较大小问题通过引入辅助函数利用函数的单调性解决大小比较问题。

关键词：对数函数;单调性;摘帽公式

在多年的教学生涯中笔者经常遇到这样的问题：

例1：请比较与的大小，这类问题通常使用指数函数与幂函数的单调性将就能够得到顺利的解决，下面我们简单解答一下这个问题：

因为函数为减函数，又>，所以>.又因为函数在（0，+∞）上是增函数，且>所以>，

所以>.

这么看来类似这样比较形如ab与ba大小的问题也不难嘛，只要利用单调性进行正确的放缩就可以了，那么下面我们再来看一个问题：

例2：请比较43.3与3.34的大小

读者不妨用上述方法试一试很容易发现上述的方法不灵了，原因就在于前面例子中所使用的两个函数单调性相反，这样的话两个待比较的数字正好一个大于中间数，一个小于中间数，从而使得問题得以解决，而在这个例子中所能涉及到的四个函数无一例外的在上都是增函数，从而使得待比较的两个数字要么都大于中间数，要么都小于中间数从而使得问题无法得到解决，那么到这里也许部分读者会说反正数字也不大，大不了动笔算，可是在不借助计算器的情况下我们能准确算出43.3的大小么，更不要说计算类似大小了，那么这样的问题又该如何解决呢？下面我们再看一个问题.

例3：请比较6677与7766的大小.

这回别说计算器了一般的计算机也无法处理这么大的数字，做商比较也很困难，有一些现行的比较方法但大都强调技巧性，有没有一种通用的简便方法呢，笔者经过长时间的思考与探索偶然发现了一种方法可以较好的解决此类问题。

我们知道用利用函数的单调性方法是高中数学一个常用的方法，本例中前文已经说明指数函数与幂函数不适合此种题目，那么作为高中函数另一种重要函数的对数函数是否可以处理此类问题呢，我们知道本例之所以难处理其中一个重要原因就是指数太大，而利用对数函数中的“摘帽”公式“”可以轻松的把指数运算转化为乘法运算，从而实现“化大为小”的目的。

回到本例中的问题，我们对两个数字同时取以e为底的对数，问题就变成了比较ln6677与ln7766的大小，进一步变成比较77ln66与66ln77的大小，到这里我们不妨假设77ln66>66ln77，变形得，这样的话就化成了类似函数的形式，接下来只需要利用导数工具研究这个函数的单调性也就可以了。对函数求导得

令f'（x）>0，即1-lnx>0，解得0

令f'（x）<0，即1-lnx<0，解得x>e.

所以f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为.

所以f（66）>f（77），即，从而问题得证.

我们不难发现通过这个方法我们可以得到以下结论：

1.若0

2.若则有.

这个结论仅仅适用于a、b在e的同侧的问题，对于在e的异侧的问题不适用，比如比较42.3与2.34的大小，这种情况笔者未能找到通用的方法，期待各位同仁继续研究此问题.