椭圆双曲线离心率的解法举例

田宏伟

离心率是圆锥曲线的重要性质之一，也是高考中的一个重要考点，本文对椭圆双曲线的离心率的解法予以归纳，并通过例题加以说明。

直接求出a，c的数值，直接求解：

例1.已知双曲线的渐近线为，则离心率为

解：因双曲线的渐近线方程为：焦点在x轴时;焦点在y轴时

所以得到：或从而得到或

解析：椭圆和双曲线的方程能够确定时，a和c能够确定，从而直接求出离心率e的值。

二、构造a，b，c的齐次式：

通过构造a，c的齐次等式（或不等式），除以a（或a2），得到e的方程（或不等式），从而解出e（或范围）。

例2.（1）椭圆的长轴长，短轴长，焦距成等差数列，求椭圆的离心率。

解：4b=2a+2c，

（舍）

或

（2）.设双曲线=1（b>a>0）的半焦距为c，直线l过A（a，0），B（0，b）两点，若原点到直线的l的距离为，求双曲线的离心率.

解：由已知，直线l的方程为，由点到直线的距离公式，得整理得得e2=4或

又

解析：以上题目能够通过已知条件列出a，b，c的关系式，进一步可以转化为e的方程，从而解出离心率。

三、利用特征三角形求离心率：

在椭圆中，由于c2=a2-b2即a，b，c构成了直角三角形的三边，即O，F2，B2构成了直角三角形的三个顶点中

例3.（1）椭圆的短轴端点与两个焦点连线成120°，求椭圆的离心率。

解：

（2）椭圆=1（a>b>0）上存在点P使，求椭圆离心率的取值范围。

解：因为存在点P使，

所以

即所以离心率的取值范围为

解析：以上题目，直接利用数形结合的思想，利用椭圆的特征三角形，直接得到离心率e的取值或取值范围。

四、利用定义法求离心率：

椭圆离心率的定义：

双曲线离心率的定义：

例4.（1）椭圆=1（a>b>0）以等边顶点B，C为焦点，过AB中点，求椭圆的离心率。

解：可以设边长为m，

所以

（2）已知双曲线以正方形ABCD的顶点A.C为焦点，且过边AD的中点，求双曲线的离心率。

解：可以設边长为m，

所以

解析：以上题目巧用离心率定义，直接结合椭圆双曲线定义，得到离心率的数量关系，进行求解。

求椭圆双曲线的离心率的值或取值范围涉及到解析几何，平面几何，代数，方程，不等式等多个知识点。综合性强，方法灵活，要注意挖掘题目中的隐含条件，适当应用题型技巧，正确求解。