高考应用题解法探索

邱红英 吴海军

历年来，高考应用题让考生们既爱又恨，由于难易适中，得之，可以满载而归，不得，甚至颗粒无收。那么，解数学应用题究竟难在什么地方呢？经笔者调查发现很多不会解应用题的学生遇到的主要困难是读不懂题，他们因为缺乏试题背景的那种生活经验，弄不懂那些比较复杂的实际背景，最后不得不放弃。那么如何帮助学生克服上述困难，正确的解答应用题呢？显然，让学生去一一具备试题背景中的生活经验是根本不现实的，在这种情况下应通过什么样的方式让学生克服这个困难呢？要解决这个问题得从高考数学应用题本身具有的特征来进行分析，笔者通过对历年高考数学应用题的分析，总结出可以用以下三句话来避开难点，对高考数学应用题建模：1.算什么？2.他有哪些部分组成？3.如何用已知条件表示？

下面，我们以2018年江苏高考第17题为例来具体分析。

真题再现：某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成.已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.

（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围;

（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

分析：本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.第（1）问很明确，求矩形ABCD的面积和等腰△CDP的面积，要表示出面积，离不开对长度的计算，此时，我们可以考虑对图形进行分割，寻找特殊三角形，没有特殊三角形时可以考虑正、余弦定理或者建系求出关键点的坐标.根据以上分析，笔者整理了以下三种求面积的方法，大家可以比较优劣，最终找到通性通法.

解：（1）

解法一：如图，连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10.

过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，

（或过O作OE∥MN，则∠COE=θ，OE⊥BC）

故OE=40cosθ，EC=40sinθ，

则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），

△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）.

过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10.

令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）.

当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，

所以sinθ的取值范围是[，1）.

答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为

1600（cosθ–sinθcosθ）平方米，sinθ的取值范围是[，1）.

注意，第（1）问的难点是准确求出sin的取值范围，判断sinθ的取值范围时，下列方法也是可以的：

a.利用极限位置来处理，当点B和点N重合时，sinθ=

b.sinθ0=

c.因为，，即，故

d.因为，故

e.图中作出辅助线NG

解法二：

OE⊥BCOE∥MN（或OE∥MNOE⊥BC）

故

所以

设DC中点为Q，因为

所以

故矩形ABCD的面积为

=800（4sinθcosθ+cosθ），

△CDP的面积为

（下同解法一）

解法三：（建系）

过O作OE⊥OP，则OE∥MN，

（或过O作OE∥MN，则∠COE=θ，OE⊥OP）

所以∠COE=θ

以O为原点，OE所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则直线OC的方程为

圆O的方程为：

联立方程组，解得

故矩形ABCD的面积为

=800（4sinθcosθ+cosθ）

△CDP的面积为

=1600（cosθ–sinθcosθ）

（下同解法一）

注：建立坐标系后也可以得到

矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为

分析：本题第（2）问只要合理利用比例关系表示甲、乙两种蔬菜的年总产值，就可以利用导数来求最值.常规解法如下：

（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，

设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），

则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）

=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）.

設f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），

则

.

令，得，即θ=，

当θ∈（θ0，）时，>0，所以f（θ）为增函数;

当θ∈（，）时，<0，所以f（θ）为减函数，因此，当θ=时，f（θ）取到最大值.

答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

注意，除了以上设法，以下三种设法都可以：

a.设甲的单位面积产值为a，则乙的单位面积产值为a

得

b.设乙的单位面积产值为b，则甲的单位面积产值为b

得

c.设甲的单位面积产值为，则乙的单位面积产值为

得

以上，是笔者对2018年江苏高考应用题的解构，随着中学数学核心素养的明确，对数学建模能力的要求愈发提高，如今，很多省份都在尝试高考改革，降低所学内容难度的同时，对思考应用的要求会提高，我们要提升学生自主发展的能力和动力，就要在教学生解决问题的同时，让学生学会多角度分析问题，思维不僵化，才能实践创新，最终实现培养“终生发展的人”的最终教育目标。所以，在以后的教学过程中，我们不妨给学生多指几条路，多一点探索的时间和机会，因为，只有老师学会放手了，学生才会有展翅的可能。