“因式分解”的教学方法归纳例析

曾惠兰

摘要：因式分解是中学数学中一种重要的恒等变形，是处理数学问题的重要手段与工具。本文简要地归纳总结学生在因式分解中重复性出现的错误情况。利用典型的例题分析解释教师如何教育学生灵活掌握应用因式分解。

关键词：因式分解 重复性错误 教师 灵活掌握应用

因式分解是“数与代数”模块内容之一，它与多项式的知识联系紧密，既能巩固多项式的运算，又能进一步发展学生的逆向思维能力。在教学中我们可以教学生使用记忆口诀：首先提取公因式，其次考虑用公式，十字相乘排第三，分组分解排第四，几法若都行不通，拆项添项试一试。

一、提取公因式、利用公式法

提公因式法是因式分解的一种基本方法，牢固掌握公因式的概念，把它的提取方法应用到数的计算中非常便利。但是学生在提取公因式种容易出现（1）公因式提而不尽;（2）公因式有而不提;（3）公因式提后不补位。（4）分解不彻底。（5）公式不熟。（6）运算过程中符号出现错误。教师在教学中要根据学生容易出现的几种错误进行有针对性的练习。

对于提取公因式，我们在教学中应该加强练习，教会学生什么是公因式，怎么提取公因式。否则学生在练习中会导致分解不彻底。如例1：多项式ab2-2a2b的两项中，公因式是什么？

解：∵ab2=a·b·b;-2a2b=-2·a·a·b ∴它们的公因式是a，b，ab。

此题中如果让学生提取公因式，学生可能会提取a，提取b，或者提取ab，此时教师引导学生，我们需要把次数最高的公因式（不计系数）提出来，写成下面的形式ab2-2a2b=ab（b-2a）：这种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法。此时通过确定不同公因式的提取，强调了提公因式法中要“将所有的公因式都提出来”，以后所说的提公因式法中的“公因式”指的是“次数最高的公因式（不计系数）”。教师还应该帮学生总结确定公因式（三定原则）一定系数：当系数都是整数时，取它们的最大公约数作为公因式的系数;当多项式首项符号为负时，还要提出负号。二定字母：各项中相同字母（或多项式因式）。三定字母的指数：相同字母（或多项式因式）的指数取次数最低的。并通过逆用幂的乘法运算展开单项式、逆用乘法分配律、提取公因式的过程，加深学生对提公因式法运算的理解。

对于公因式有而不提，一是学生解题策略上的偏差，二是学生缺乏整体性思维;如例2：100x2-25y2=（10x-5y）（10x+5y）很多学生的答案会出现这种错误情况，那该如何避免？ 这就要求我们在平时的课堂教学中，教师针对有些多项式的分解因式需要两步运算的问题，都要求学生按照如下步骤进行：先看有无公因式，如果有要先提取公因式，然后再利用公式法进行分解，简称“一提二套”。 而该学生没有按照一般性的步骤进行分解，在解题方向上打乱了常规的解题步骤，出现了解题策略性的偏差，出现公因式有而不提的现象。

例3：利用分解因式证明：257-512能被120整除

针对此题，学生会有不同的错解，比如解：257-512=（52）7-512=514-512=52=25;或者解：257-512=（52）7-512=514-512=（57）2-（56）2=（57+56）（57-56）从学生的解答情况来看，第一步25变形为52，第二步幂的乘方运算都没有出现错误，第三步如何作答？出现了解题障碍，不知采用何种策略解决，此时再次考虑题中的要求利用因式分解证明问题，所以需要把式子继续恒等变形为积的形式。此题正确的解法应该是把512看成一个整体，利用公因式法把512提出来，使得最终的结果中出现120这个因数：257-512=（52）7-512=514-512=512（52-1）=512×24=511×5×24=120×511教师在教学中应该强调所谓的公因式可以是单项式也可以是多项式，当然也可以是幂的结构形式，在代数解题中，教学生要能够“看透”形式符号后的代数结构，实现从程序到结构的过渡，否则学生的思维僵化，不能够以已有知识结构为基础对新信息进行编码，不能够完善建构自身认知结构，在解题策略上就会出现方向上的错误，造成运算无法进行下去。

学生在公式应用中会出现公式不熟，特别是需要逆用公式时会看不出来，是因为学生的逆向思维能力薄弱，这会阻碍学生的因式分解解题，所以需要老师引导学生突破思维的定势，使思维进入新的境界，达到应用自如的程度。

例4：12a3+12a2+3a=3a（4a2+4a+1）實际上对于要进行模式的识别，发现它是由三项构成，首项4a2可变形为（2a）2末项可看作12，二者都是平方的形式，中间一项是4a=2×2a×1形式，恰好符合两数和的完全平方公式的特点，所以还可以逆用完全平方公式进行因式分解，但是学生在此止步运算，因为他没有识别出完全平方公式的结构，从而无法分解。

有些学生会出现公因式提后不补位的状况，这属于知识性的错误，学生在解题中如果存在着某些知识上的缺陷，或者是受前置学习内容的影响，也会发生错误的情况。

例5：ab-cb-b=b（a-c）学生出现错误是不理解数字“1”作为多项式的项存在时，是绝不能省略的;一个字母 b 的系数是 1，提取字母 b 后，并不是没有项了，还有系数1。这种错误出现可能学生混淆了我们前面学习有关整式的内容时，如果“1”作为系数通常是可以省略不写的，而且“1”作为指数的时候也是可以省略。这就要求我们在教学中引导学生对所学知识、方法分类归纳总结，找出它们的共同性和差异性。

部分学生平时做题时会出现疏忽性错误，比如运算过程中出现错误，如例6：-3a3-6a2+12a=-3a（a2-2a+4）=-3a（a+2）2错误原因进行多项式的因式分解时，当第一项含有“—”号时，选取公因式的系数应该是负数，提公因式后剩余各项要改变符号。这就要求教师应加强学生整式运算中，去括号时注意符号变换情况，通过强化训练减少学生的错误率。

考虑到因式分解的方法在初高中衔接中的作用，例如，在高中阶段解一元二次不等式和求导判断曲线的形状等等，大部分初中教师会补充两种方法，十字相乘法和分组分解。

二、十字相乘法

用十字相乘法对多项式进行因式分解，對解一元二次方程和高中阶段的二次不等式很有帮助，所以有些老师选择在初中阶段补充十字相乘法，主要是针对不能用完全平方公式的二次三项式的，而且系数部分有着关联，多项式具备的特征往往是含三项，方便学生快速解一元二次方程。但是很多学生在遇到题目时不会运用十字相乘法。

例7：x2-3x+2=x（x-3）+2出现这错误原因一是学生对十字相乘法概念不熟，二是学生由于对因式分解概念规则的特殊形式辨别错误，忽视最后结果形式的约束规则，即使从表象上都无法辨别因式分解的分解形式必须是多个因式相乘的形式。由于十字相乘法在初中教材中被删减，所以我们在教学过程中要教会学生什么是十字相乘法，为何要教，什么时候教，是不是每个二次三项式都能进行因式分解。

三、分组分解法

将一个多项式分组后，再提公因式或运用公式继续分解的方法就是分组分解法，对于初中因式分解方法中并没有要求，但是在因式分解的应用中有所涉及，比如利用分组分解法进行因式分解判断三角形的形状。

例8：已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+ab=b2+bc，试判短三角形的形状

解：∵a2+ac=b2+bc ∴a（a+c）=b（b+c）错误剖析：学生第一步的解题策略采用提公因式法把等式的左右两边进行因式分解，然后就无法继续运算，原因在于是没有合理的进行分组。此题解答策略上最关键的是不能局限于方程左右两边独立运算，要有全局意识解决此类问题，所以需要先进行移项，然后合理分组进行因式分解，再提取公因式，运算步骤如下：解：a2+ac=b2+bc;a2-b2-bc+ac=0;（a+b）（a-c）+c（a-b）=0;（a-b）（a+b+c）=0;a-b=0或a+b+c=0;∵△ABC三边的边长都大于0∴a=b故此三角形为等腰三角形

分组分解法不是一种独立的方法，往往会适当添括号、交换、分组后使用或连续使用或综合使用前面的三种基本方法。“分组”是关键，分组前要预见到分组后下一步该怎么办，再确定用什么方法完成因式分解分组的前提是为后面利用什么方法进行因式分解做准备，所以要求学生分析、解决问题的能力较高。

参考文献：

[1]陈夏明. 对学生因式分解学习中解题错误的分析[D]. 上海：上海师范大学，2014.

[2] 黄涛. 初中生因式分解学习认知障碍分析及教学策略[D]. 广西：广西师范大学，2013.

[3] 曹世林，付晓龙. 因式分解中的常见错误剖析[J]. 初中数学教与学，2011（11）： 28-29.