人教B选修2-3 1.1.3二项式定理（一）教学设计

王园园

一、教学设计

（1）教学内容解析。二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础.这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值.中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等。

通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧;进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用;重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成.

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础.通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点。

二项式定理的證明是一个教学难点.这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性。需要用到不太熟悉的数学归纳法。

（2）学生学情分析。二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一类特殊的多项式，表现为二项式的乘方的展开式，也是解决某些整除、近似计算等问题的重要方法之一。学生在初中是以多项式的乘法展开为载体，从具体式子感知多项式的展开。学生进入高中一年多的数学学习后，在数学符号化、公理化、抽象化等方面得到了有效的锻炼，逻辑推理能力、转化与化归等数学思想方法得到了训练，特别是，前一节学习了计数原理后，对该节课推导二项式定理奠定了基础。从学生现阶段的思维特点分析，大部分学生解决展开式采用的是的不完全归纳法（猜想），与初中学习的多项式的展开结合起来，从的展开式的形式特点等方面进行类比，教师可以因势利导，让学生体会从一般到特殊的数学思想方法。然而，无穷大时，能保证展开式恒成立吗？

（3）教学策略分析。在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神;尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系;尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习.

（4）教学目标设置。知识与技能：①理解并掌握二项式定理，能利组合思想证明二项式定理;②能利用通项公式求某一项的系数。

过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。

情感、态度与价值观：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨。

教学重点：用计数原理分析、的展开式，推导二项式定理。

教学难点：利用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式形成单项式之和时各项系数的规律。

二、教学过程

（1）创设问题情境，因疑惑而激趣

教师：请同学们计算下面两个题： 

教师：请同学们计算：

观察学生反应

教师板书：二项式定理：

【设计意图】从学生的认知水平出发设置问题情境，在困惑中激发学生思考解决问题方法，让多数学生能动手动脑，不仅能激发学生学习数学的兴趣，更是调动学生学习新知识的积极性。数学不是冰冷的美丽，她是来自现实的火热思考。问题情境中渗透数学史，且紧扣本节课的主题与重点。

（2）亲身体验，探索新知

教师：就是四个相乘，刚才求得的展开式是这样的：。

请思考问题：①展开式中各种类型的项是如何得到的？②展开式中各项的系数是如何确定的？

学生：分步计数原理：第一步，第一次取有两种不同的方法;第二步，第二次取有两种不同的方法，共四步，共有项。

【设计意图】教师确定研究方向后让学生自主探究，留给学生足够的时间和空间，让学生回忆计数原理。

教师提示：是2个相乘，根据多项式乘法法则，每个再相乘时有两种选择，选或选，而且每个中的或都选定后，才能得到展开式的一项。于是，由分步乘法原理，再合并同类项之前，的展开式有4项，而且每一项都是的形式。

每个都不取的情况有1种，即，即前的系数为;恰有1个取的情况有2种，即，即前的系数为;恰有2个取的情况有1种，即，即前的系數为;因此，

【设计意图】预设当学生思维遇阻时，降低难度，让学困生体会展开式的项及其各项系数的由来;引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导的展开式提供了方法，使学生在后续的探究“法”。

（3）合作探究，总结规律

【设计意图】通过小组合作学习，加强师生、生生之间的交流。充分体现教师主导学生主体地位，学生深层次的参考与到课堂学习，成为课堂的主人，加深对所得结论的理解，培养学生自主、合作、交流的能力;让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，做到吕传汉教授提出的“教思考、教体验、教表达”。

【问题】各二项式系数之和是多少？即

【教师点拨】

（1）将二项式定理左边、都赋值为1，得

（2）二项式定理给出了一个恒等式，即对两项、的一切取值都成立，因此对其特殊值也成立，赋值法是解决与二项展开式系数有关问题的重要手段。在二项式定理中令，那么二項式定理变成一个关于的函数。所有各项系数和就是。

【设计意图】适当拔高，给学生提供思考的空间，好的数学问题能点燃学生的激情，好奇心总能激发学生有效参与课堂学习。

4.典型例题分析

五、教学反思

数学学习是教师引导下的“再创造”，而“再创造” 的本质是学困之时、疑难之处为学生搭建好合适的“脚手架”.本节课的教学难点是如何把二项式展开从多项式乘法中脱胎出来，自然地与计数原理、排列组合知识建立联系。执教者采用“先特殊后一般”、“先低次后高次”、“先局部后整体”的探究策略，以研究“中项的系数为什么是4”为出发点，以语言、图形、文字等3个不同感知为着眼点，启发引导建立“取数模型”，让学生感受“用组合来研究二项式展开”的体验。