巧用新课标理念 彰显数学魅力

摘 要：“数学难，难于上青天”已成为多数高中学生的“难言之隐”。如何破解学生畏惧数学的学习现状，激发出浓厚的学习兴趣是摆在数学教师面前的重要课题。本文试图利用新课标理念，从概念理解、数形结合、合作与交流等方面彰显数学魅力，激发学生学习数学的兴趣，达到较好的教学效果。

关键词：高中数学;概念教学;数形结合;合作交流

随着新高考的实施，新的命题思想和理念会深刻影响着高中数学教学，教师的身份也随之发生了变化。优秀数学教师要善于挖掘和处理教材，领悟高考命题原则，不断改进教学方法，让学生轻松愉快地掌握数学知识，激发学习的兴趣。

一、 在认识冲突过程中感知概念的内涵与外延，把握概念本质

数学概念的形成来自解决实际问题和数学本身发展的需要，但概念的高度抽象使其难以理解，随着知识的增加，对概念的认识也会产生冲突。教学过程中，教师可以从学生实际出发，想学生所想，借助多媒体手段，精心设计问题，丰富概念的内涵与外延，把握概念本质，激发学生学习数学的兴趣。

案例1 函数切线的概念

学生在导数的概念学习完成之后，教科书紧接着安排了曲线的切线内容。学生在初中阶段已经学习过了圆的切线，因此，对于切线的概念，学生是有一定的基础知识的。之前在高中阶段，学生又学习了圆锥曲线的切线，从“曲线有且只有一个公共点的直线称为切线”到“双曲线、抛物线有且只有一个共同点的直線不一定是切线”的知识飞跃，学生对切线的认识前后产生了冲突，也对最初的概念产生了怀疑。因此正确理解切线的定义是本节课的一个难点。

在教学过程中，教师可以先创设问题情境，用几何画板作出几个曲线（如函数y=x3，y=sinx）的切线，如图1所示，设置如下问题：

（1）直线l是曲线的切线吗？

（2）直线l和曲线有几个交点？

学生讨论交流完成后，师生共同总结：“在几何上，切线指的是刚刚接触曲线上的某点的直线，因此线l是切线。但跟我们以前学习的概念不一样，今天我们来重新定义切线。”然后用无限逼近的极限思想，借助几何画板让学生体会到割线的极限位置即切线。

学习定义后，可进一步引导学生总结新定义的切线的特征：①可以穿切。以前的曲线是“贴切”，即切线在切点切而不穿过曲线。导数定义的切线，可以“穿切”，即切线在切点切而可以穿过曲线。②可以有若干个切点。以前，一般是一个切点的。现在可以多个切点，甚至无数个切点。

通过观察图像、进行实验、比较新旧、发现关系，从具体到抽象，从模糊到清晰，逐步总结、概括和抽象出曲线切线定义的内涵与外延。让学生体验到亲自参与和掌握知识的愉快情感，这是激发学生学习兴趣的重要条件。

二、 巧用数字与视觉相结合的魅力，展现了图形的美感

数量和形状是数学研究的两大主题。数形完美结合，能使数学问题由抽象变成直观，由复杂变成简单易懂，有利于激发学习兴趣，更有利于精准理解数学问题的本质属性。

案例2 已知点P（x，y）在圆（x-2cosα）2+（y-2sinα）2=16上运动，当角α变化时，点P（x，y）运动区域的面积为。

学生互动交流完成后，很多学生会产生两点困惑：①为什么中间要除去一个圆？②为什么图形会是一个圆环？

对于第一个困惑，教师给学生一个巧妙的解释方法：点P形成的图形就像我们正在玩呼啦圈时呼啦圈上的点所扫过的地方，学生把圆圈O形象比喻为人的腰部，根据呼啦圈转动的实际情况，必须把圆圈O的内部去除，原因是呼啦圈实际是不能扫过人的腰的。

接着，教师利用几何画板，设法把它的图形作了出来：设圆心为M（2cosα，2sinα），很容易知道它位于以原点为中心，半径为2的圆上。再用几何画板制作这个圆圈，在这个圆圈上取任意一个点作为M，然后取M作为中心，4作为半径，跟踪该圆的轨迹并拖动点M以观察点P的轨迹。如图所示，P运动区域（灰色部分）是环，因此面积为32π。（如图2）

教师按上述方法讲解完成后，绝大多数学生都面露喜色，学生们有效理解了图形在解题中的作用，教师在讲课过程中还能生动呈现出图形完美结合的动态之美。

在数学课堂教学过程中，教师不仅要充分利用几何画板来表达图形的动态美感，还可以在网络教室上课，让学生利用校园网通过自行下载图形视频、数学图片等，从而感受到数字、图片和形状的完美结合。

三、 营造师生合作与交流的教学氛围，品尝成功的喜悦

在数学理论知识的教学过程中，教师若能营造问题情境，精心设计一些实验，在探究实验中进行合作交流，在合作交流中进行探究实验，通过合作、探究、交流等学习方式，学生才能真正体验到在“做”中学数学的乐趣。

案例3 零点存在性的判断

f（a）·f（b）<0且图像在区间[a，b]上连续不断，是函数f（x）在区间[a，b]上有零点的充分但不是必要的条件，学生对此知识点感到特别困惑，渴望获得解答。

实验设计：教师事先准备一条绳子，并在黑板上画一条直线，说明细线的两个端点记作A和B，创设如下问题情境：“同学们，如何才能确保这条细绳和给定的直线会形成交叉点呢？”这个问题一抛出，学生们议论纷纷，相互窃窃私语说出了各自的想法。经过老师的组织引导，学生分小组进行合作、探讨和交流，教师依据学生们讨论的情况给予科学有效的指导。

学生动手实验后发现，当A点和B点位于直线的两侧时，它们可以满足问题的要求;当A点和B点位于给定的直线的同一侧时，则会出现两种可能：会出现交叉点，也可能不会出现交叉点。接着教师引导学生从数的角度分析得出 f（a）·f（b）<0的结论。教师进一步发问：若A点和B点在直线的两侧时，细线与给定直线相交已经出现交点了，要让它们不出现交点，对此你能设计出什么方案？学生经过讨论、交流，设计出如下两种方案：

①将点A和点B移到直线的同侧（对f（a）·f（b）<0的必要性作进一步解释）;

②只要切断细线（对具有连续特征的函数图像作进一步说明）。

通过上述数学实验，学生们能快速总结出零点存在性定理。

教学过程中，教师要充分相信学生的能力，让学生动手操作，学生就能直观地感受到函数零点存在性定理在每个条件下的作用，并从实验的解决方案中理解掌握定理的本质属性。合作与交流让数学的学习不再是枯燥乏味的纯理论。

俗话说，“兴趣是最好的老师”。教师只要把数学的魅力充分地展现在学生面前，就一定能够持续地激发学生的学习激情，将被动学习转化为主动学习，“要我学”就一定能转变成“我要学”。高中数学教师要深入研究新课标、新教材、新高考，精准把握高考命题的思想原则，在教学实践中不断总结提升，不断改进教学方式方法，充分运用多媒体手段、网络环境，让学生多动手、多动脑、多合作，就一定能让更多的学生激发起学习数学的热情。

参考文献：

[1]付超.对一则教学片断的反思与改进——兼谈教学中的具体到抽象[J].中国数学教育（高中版），2010（1）.

[2]何百通，汪晓勤.高中生对切线的错误理解[J].数学教育学报，2013（6）.

作者简介：

杜海光，福建省南平市，邵武市第一中学。