状态变量方程辨识Cauer热模型参数的方法

(武汉大学 电气工程学院，湖北 武汉 430072)

绝缘栅双极性晶体管(Insulated Gate Bipolar Transistor,IGBT)作为第一代电子器件，兼具功率场效应晶体管(Metal-Oxide-Semiconductor Field-Effect Transistor,MOSFET)元件的栅极电压控制开断能力以及双极型功率晶体管(Bipolar Junction Transistor，BJT)元件的低导通压降特性，是十分理想的大功率开关器件，发展前景广阔，其可靠性也成为当下的研究热点。IGBT失效机理可分为热应力失效以及电应力失效两种[1-4]。而在热应力失效分析中，IGBT芯片的结温获取至关重要。

IGBT模块处于封装状态下，其结温的直接获取相对困难，包括：热传感器测量法、红外探测法、电参数间接测量法等[5-7]。其中热传感测量法为接触式温度测量，其接触部位会对温度及应力分布产生影响。红外探测法为非接触测量，但实验仪器过于昂贵，电参数间接测量法可以粗略估计IGBT芯片的结温，但测量精度低。目前，电-热耦合仿真分析法是使用较为广泛的方法[8]。此方法根据电-热耦合特性建立IGBT模块的传热模型，不仅能预测IGBT的稳态结温，也能预测瞬态结温。

根据IGBT模块的特殊层状结构，由于材料厚度远小于其长度和宽度，可以认为从芯片到基板的热传递近似等于一维热传导。对于该传热模型，比较典型的有Foster热网络模型和Cauer热网络模型两种[9-10]。其中，Foster热网络模型因结构简单、计算方便而得到更多的应用。但Cauer热网络模型可以在一定程度上反映IGBT模块的热传导物理本质，能够反应各层材料间的温度变化，因此具有更高的实验价值。

Cauer热网络模型的参数辨识[11-14]，目前主要有两种方法：等效变换法和数值计算法。等效变换法基于Foster模型和Cauer模型在复频域s下总阻抗表达式相等的原理计算出相关参数，而数值计算法通过器件的几何参数和材料的温度特性计算获得相关参数。第一种方法计算稍显复杂，而第二种方法依赖于材料的几何尺寸和温度特性，在实际操作中有较大的误差。

本文在此基础上提出一种基于能控标准型的IGBT模块Cauer热模型参数辨识方法，通过矩阵变换得到约束方程组，进而计算出相关参数。

1 Cauer模型元件参数辨识原理

以三阶Cauer热网络模型为例，其电-热耦合模型如图1所示。

图1 三阶Cauer热网络模型

图1中，直流电流源I为IGBT芯片的功率损耗，由I=ICUCEt计算获得,IC为IGBT集电极电流，UCE为集电极和发射极之间的正向压降，t为工作时间。假设在零时刻电路进入工作状态。设u1、u2、u3为三阶电路的3个状态变量，由基尔霍夫电压定理和基尔霍夫电流定理[15]得到以下方程：

(1)

将上述方程变换可得

(2)

将I作为输入，u1作为输出，可得以下状态空间表达式：

(3)

设

(4)

因选用三阶Cauer模型，故以I为输入，以U1为输出，则可得到三阶微分方程

(5)

由式(5)可得其传递函数为

(6)

由传递函数可得三阶Cauer热网络模型能观标准型[16]：

(7)

已知两个状态空间表达式描述的是同一个系统，其状态矩阵必然存在联系。现有变换矩阵

(8)

使

(9)

式中，T为变换矩阵，T-1为变换矩阵的逆矩阵。

由矩阵变换可得方程组

(10)

由上述方程组可辨识出三阶Cauer热网络模型所有参数。

通过传递函数与状态空间表达式之间的联系来辨识Cauer热网络模型的参数，必须先经过传递函数参数辨识得到a0、a1、a2、b0、b1、b2。

由拉普拉斯变换公式

(11)

式中，w(t)由实验得到，其波形与y=a-be-cx类似。假设w(t)在时间t0内会达到稳定值，t0以后w(t)基本保持不变，故

(12)

通过该方法计算出若干个W(s)的值，使用软件进行参数拟合。因为是非线性方程的最小二乘拟合，且无法通过数据处理得到线性方程，故初始值的设定对于能否得到理想的结果具有很大的影响。因为Cauer热网络模型每级R、C参数对应了相对应材料层的热阻与热容，故可以直接使用数值计算法粗略计算R与C的值，带入公式计算出a0、a1、a2、b0、b1、b2的粗略数值作为拟合的初始值，拟合后得到a0、a1、a2、b0、b1、b2的准确值。

数值计算法公式如下：

(13)

式中，d为高；S为面积；λi为导热系数;ρ为密度;V为体积;cpi为比热容。

2 Cauer模型元件参数辨识仿真实验

为验证上述方法的可行性，现采用Matlab Simulink仿真软件进行模拟仿真。仿真模型如图2所示。

图2 simulink仿真模型

图2中，直流电流源设定为1 A，阶跃信号动作设定时间为t=0 s。

参数设置完成后，其仿真结果如图3所示。

图3 U1仿真波形

如图3所示，t=0.3 s之后，电压U1基本保持不变，此时选取t0=0.3 s计算W(s)的值。

已知复化辛普森求积公式计算精度与采样步长有关，步长越小，精度越高。综合考虑误差控制与实验条件约束，选用1 ms为采样步长。最后计算可得

表1 仿真计算结果

由仿真结果图3、表1可知，除了C1误差超过1%，其余参数误差皆在1%以内。出现该现象的原因在于C1的计算只与传递函数中b2相关，b2的误差会传递到C1中。而C2、C3、R1、R2、R3的值为传递函数中若干个参数的组合，其误差会相互抵消而减小，故误差会明显小于C1。

3 结束语

本文以RC热网络模型的参数辨识为背景，提出了基于能观标准型的Cauer热网络模型参数辨识方法，通过矩阵变换将参数值对应到传递函数的参数中，而传递函数由实验得到。该方法不经过Foster热网络模型的变换，精度高，且可很快计算得出各材料接触面温度，对材料间因温度产生的形变不同而导致的应力的研究很有价值。

但该方法过于依赖热传感器工作性能，参数辨识精度受到实验器材的制约。因为IGBT模块热阻可以在零点几秒内达到稳定值，这对温度传感器的响应速度和测量精度都提出了要求。