神秘的费根鲍姆常数

顾静怡

似乎人人都知道π是圆周率，是一个被科学证明了的无理数。然而，最近人们又发现了一个超越π的神秘数字4.6692……这个被学术界认定的、与“混沌现象”有关的常数也被称为费根鲍姆常数。它像圆周率一样，充满着神秘和未知。

四十多年前，痴迷数学研究的物理学博士费根鲍姆放弃了做粒子物理学家的“主流”工作，跳槽到洛斯阿拉莫斯国家实验室当起了小助手。他在利用计算机工作的时候，发现了这个被誉为“新的圆周率”的常数4.6692……

那么，4.6692……这个数字到底神秘在哪里呢？这得从数列的周期说起。我们都知道，最简单的数列可以很任意，比如1，2，1，2……当然，还有一些数列的周期性则要复杂得多，也有趣得多。费根鲍姆研究的数列也表现出了周期性，而且随着参数b的不断增加，表现出来的周期性也会不断增加，它会从二周期变成四周期，然后变成八周期……这种现象在数学或者物理学上被称为“逻辑斯蒂映射”或者“抛物线映射”。

问题的关键是，参数b要等于多少？因为b的数值是任意的。但在做数值计算时，必须要先设定这个参数。费根鲍姆固定了不同的参数b，发现当参数b选择到一些特定的数字后，整个数列最后会收敛到一个“不动点”。也就是说，这个不动点是抛物线方程的一个根，不动点就是“周期1”。然后，再不断调整参数b，当b增加到了一定程度，又发现周期从2变成4，变为8与16……这个现象叫做倍周分叉。

如果要用通俗简单的例子来解释的话，那就是从一个规律滴水的水龙头开始，它的节奏是重复的“滴—滴—滴—滴……”每一滴都跟前面的完全一样。然后，当我们将水龙头打开一点，水滴就会落得比之前快一些，而节奏也就会相应地变成了“滴—答，滴—答……”每两滴才重复一次，前后两滴不止是大小不同，就连时间间隔也会有些细微的变化。如果让水滴流得再稍微快一点，就会得到四滴的节奏“滴—答—滴—答……”再快一點的话，则会产生八滴的节奏“滴—答—滴—答—滴—答—滴—答………”也就是说不同形式的水滴数目会一直加倍，这就是“混沌现象”。

那么，这些分叉点的参数b又有什么特点呢？费根鲍姆研究发现：出现倍周期分叉的b的那些数值，距离之比接近一个常数，大概等于4.6692……他还进一步揭示了同样的现象、同样的常数，适用于广泛的数学函数领域，这个普适的结论使数学家们能够在对表象不可捉摸的混沌系统的解密道路上迈出可喜的一步。

有人说，费根鲍姆常数是一个神秘的常数，一个数学物理中深邃的常数，一个与π平起平坐的常数。也有人说，4.6692……是一个“新的圆周率”。但不管怎样说，费根鲍姆常数在数学及数学与自然的关系中，有着非比寻常的重大意义。