简捷求解一类匀强电场典型问题的解析式

隆 勇 李 力

(重庆市清华中学,重庆 400054)

高中物理教学中常见这样一类匀强电场的典型问题:假设匀强电场的电场线与某平面共面,已知该平面上某几点的电势数值,要求解场强的大小和方向.近几年这种类型的问题在各种高考复习资料以及高考试题中多次出现,例如2017年全国高考课标Ⅲ卷的第21题的(A)选项即为:一匀强电场的方向平行于xOy平面,平面内a、b、c3点的位置如图1所示,3点的电势分别为10 V、17 V、26 V,求电场强度的大小.

图1

通常的求解方法是:计算某线段上的各个n等分点的电势,从中寻找同某个已知电势的点具有相等电势的点,将这两点相连得到一条等势线(由于匀强电场的等势线是直线),再画出与之垂直且从高电势指向低电势的方向即得场强方向(须算出表示这一方向的角度),然后求出另一已知电势的点到该等势线的距离d,最后由E=U/d计算场强大小.

图2

从物理的角度看,不妨称这种方法为“等电势法”,从数学上看是一种几何法,步骤比较繁琐,而且当各点的电势数值或各点的位置关系比较一般化时,等电势点的寻找和几何计算都会很费事,求解过程中可能遇到相当大的难度.特别是当所给电势和坐标为一系列已知字母时,等电势点的确定无从下手,这种几何法将完全失效.

其实,根据电磁学中静电场电场强度与电势梯度之间的关系[1],即电势φ的负梯度等于电场强度E,将E=-φ沿匀强电场所在平面的两个直角坐标轴Ox、Oy分解[2],得到Ex=-∂φ/∂x,Ey=-∂φ/∂y,又由于匀强电场处处相等,Ex、Ey皆常量,故可写为

(1)

(1)式便是简捷求解这类问题的解析式,用它可以如下求解上述高考试题:首先如前述求得φO=1 V后,用(1)式得

这一方法从数学上看是一种解析法,它根本不需要寻找等电势点,也不需要有一定技巧的几何计算,而是直接简明地求出了场强矢量,明显优于“通过寻找等电势点再确定等势(面)线及场强方向最后计算场强大小”的几何方法,值得在教学中向师生们介绍推广.