探究解决与弹簧相关的多运动过程
——2018年高考全国Ⅰ卷第15题

展宗程

(甘肃省靖远县第三中学,甘肃 靖远 730699)

2017版普通高中物理课程标准提出学科核心素养,注重学科育人价值．以弹簧模型命题的高考试题在历年高考中频频出现,这类问题综合性很强,是高考的热点和难点．纵观历年高考物理试题,与弹簧有关的考题占相当大的比例．对于弹簧问题,从力的角度看,弹力是变力,从能量的角度看,弹簧是储存能量的装置,弹簧类问题能很好的考查学生的综合分析能力,所以一直备受高考命题老师的青睐．弹簧模型总是跟其他物体直接或间接地连接在一起,通过物块的运动带到弹簧的长度发生变化,在物体的运动过程中与之连接的物体受力、加速度、动能和能量等发生变化,并且牵扯的过程较多,这一点在近几年的高考中也得到了充分的体现．本文从物理学科核心素养的视角分析2018年全国Ⅰ卷物理的第15题,并对试题进行变形,探究解决此类问题的思路和方法．

1 典例分析

图1

(2018年高考物理全国卷Ⅰ第15题)如图1,轻弹簧的下端固定在水平桌面上,上端放有物块P,系统处于静止状态,现用一竖直向上的力F作用在P上,使其向上做匀加速直线运动,以x表示P离开静止位置的位移,在弹簧恢复原长前,下列表示F和x之间关系的图像可能正确的是

从物理思维的角度分析,对运动过程构建物理模型如图2所示,本题涉及运动过程模型的建立、轻弹簧模型建立;根据弹簧弹力公式结合本题条件明确初始位置与位移x的关系,正确写出弹力表达式;依据受力分析根据牛顿第二定律写出力与运动的规律表达式,结合数学知识判定F和x之间关系的图像．

图2

本题易错分析:部分学生死记硬背弹簧弹力的公式F=kx,误解公式中x就是弹簧的长度或是模糊不清,只要是x就直接代入计算．于是依据受力分析根据牛顿第二定律得到F+kx-mg=ma,推导得出F=m(g+a)-kx,F与x之间应该是线性一次函数，且斜率为负,结果没有符合答案的图像．分析原因就是没有把概念公式记清楚,缺乏物理思维核心素养,没有构建物理模型．

解析:以物块P为研究对象,弹簧的原长位置在O处,物块静止时弹簧被压缩处于A位置,设弹簧的压缩量为x0,物块P的质量为m,弹簧的劲度系数为k,在A位置物块处于静止状态,对其受力分析,由平衡条件得

kx0=mg.

(1)

以向上为正方向,设物块P在力F的作用下从A点向上移动到B位置,从静止向上移动的距离为x,弹力为

Fk=k(x0-x),

(2)

由牛顿第二定律得

F+Fk-mg=ma,

(3)

由以上各式得F=kx+ma．由于物块向上做匀加速直线运动,加速度a恒定不变,即ma恒定．可知F与x是线性的一次函数关系,且F随着x的增大而增大,故(A)正确,(B)、(C)、(D)错误．

点评:解答本题的关键是先分析静止时P的受力情况,由于弹簧弹力在变,物体做匀加速运动,所以拉力F是一个变力,从物理思维的角度来看,此题考查了学生物理建模思维和运动过程综合分析能力．在审题时应抓住题目的关键信息,如“静止状态”、“匀加速直线运动”、“离开静止位置的位移”和“弹簧恢复原长前”等,把握主要因素,简化运动过程,建立运动过程的物理模型．

图3

2 一题多变,思维拓展

变式1.水平地面上有一直立的轻质弹簧,下端固定,上端与物体A相连接,整个系统处于静止状态．现用一竖直向下的力F作用在物体A上,使A向下做一小段匀加速直线动(弹簧一直处在弹性限度内)如图所示.在此过程中力F的大小与物体向下运动的距离x间的关系图像正确的是

从物理思维的角度分析:对整个运动过程建立模型如图4所示,本题与典例的不同之处在于将力F变为向下,在力F的作用下使物块向下做匀加速直线运动,主要涉及运动模型构建和分析,刚开始物体处于静止状态,对物块受力分析,可求弹簧弹力和压缩量x0,然后在力F作用下物块向下匀加速运动,根据牛顿第二定律写出力F与物体向下运动的距离x间的关系,其中Fk=kΔx=k(x0+x),其中Δx是学生最容易出现错误的地方,有了物体运动模型分析图学生理解就比较容易,最终可以找到这两个物理量之间所对应的图像．

图4

解析:设弹簧的原长位置为O处,将物块A放在弹簧上整个系统处于静止状态,此时物块处于B位置,由平衡条件得

mg=kx0.

(1)

施加F后,物块向下从B到C做匀加速直线运动,由牛顿第二定律得

F+mg-Fk=ma,

(2)

Fk=kΔx=k(x0+x),

(3)

由以上3式解得F=ma+kx,ma是定值,所以可知F-x图像是(D)选项．

点评:本题将力F的方向发生变化,而其它条件不变,探究F与向下运动的距离x间的关系,是对受力分析和牛顿运动定律的综合运用的考查,通过典型题的变型,考查学生是否真正掌握此类问题分析处理方法和技巧．

图5

变式2.如图5所示,轻弹簧的下端固定在水平面上,上端叠放有质量相等的物块P、Q,系统处于静止状态．现用竖直向上的力作用在P上,使其向上做匀加速直线运动．以x表示Q离开静止位置的位移,F表示物块P对Q的压力大小,在P、Q分离之前,下列表示F和x之间关系的图像可能正确的是

图6

从物理思维的角度分析:对整个运动过程物理模型建立如图6所示,主要涉及运动过程建模,结合运动对物块受力分析,刚开始在拉力F0的作用下使PQ一起向上做匀加速运动,对PQ整体受力分析,明确x0与x之间的关系,根据牛顿第二定律写出力F与x的关系表达式,从而找到P对Q的压力大小F与x之间关系的图像．

解析:刚开始系统处于静止状态,对P、Q整体受力分析可得

Fk=2mg=kx0.

(1)

施加拉力F使其向上做匀加速直线运动,在P、Q没有分离前,P、Q一起加速直线运动,仍将P、Q看作一个整体受力分析

F0+kΔx-2mg=2ma，

(2)

其中Δx为弹簧的形变量,Δx=(x0-x),然后对P隔离受力分析,由牛顿第二定律得

F0+F-mg=ma.

(3)

由(1)～(3)式得

F和x关系图像的斜率为负,所以(C)选项正确．

点评:本题在典例的基础上再次进行变形,将原来的一个物块变为两个物块,而其它条件不变,探究拉力F0与Q离开静止位置的位移x的关系,其目的在于通过一题多变、一题多练,让学生掌握利用物理建模与过程分析处理此类问题的方法．

图7

变式3.如图7所示,一劲度系数为k=800 N/m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m=12 kg的物体A、B．物体A、B和轻弹簧竖立静止在水平地面上,现要加一竖直向上的力F在上面物体A上,使物体A开始向上做匀加速运动,经0.4 s物体B刚要离开地面,设整个过程中弹簧都处于弹性限度内,取g=10 m/s2,求:

(1) 此过程中所加外力F的最大值和最小值．

(2) 此过程中外力F所做的功．

图8

从物理思维的角度分析:对运动过程构建物理模型如图8所示,此题在变式2的基础上又进行变形,将两个物块分别固定在弹簧的两端,在外力F作用于A物体上,使物体A开始向上做匀加速运动,当A开始做匀加速运动时,物体A受重力、弹簧弹力和拉力,由于弹簧的形变量最大,弹力最大,所以此时拉力F最小,同理可知当B刚要离开地面时,拉力F最大．

解析: (1) 刚开始没有拉力作用下A处于静止状态,由平衡条件得

kx1=mg.

(1)

当A开始做匀加速运动时,物体A受重力、弹簧弹力和拉力,由于弹簧的形变量最大,弹力最大,所以此时拉力F最小,设拉力为F1,由牛顿第二定律得

F1+kx1-mg=ma.

(2)

同理可知当B刚要离开地面时,对B由平衡条件得

kx2=mg.

(3)

拉力F最大,设拉力为F2,对A有由牛顿第二定律得

F2-kx2-mg=ma.

(4)

物体A向上做匀加速运动有

(5)

由(1)～(5)式得

a=3.75 m/s2,F1=45 N,F2=285 N.

点评:本题在变式3的基础上再次进行变形,将两个物块固定在弹簧的两端,力F的作用下,使物体A开始向上做匀加速运动,最终使B物块刚好离开地面,探究拉力所加外力F的最大值和最小值,该题主要考查应用牛顿第二定律分析运动过程,要求同学们能正确分析物体的受力情况,通过变形让学生掌握利用物理建模与过程分析处理此类问题的方法．

变式4.(2005年全国卷Ⅲ)如图9所示,在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A、B,它们的质量分别为mA、mB,弹簧的劲度系数为k,C为一固定挡板．系统处一静止状态,现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动,求物块B刚要离开C时物块A的加速度a和从开始到此时物块A的位移d,重力加速度为g．

图10

从物理思维的角度分析:对运动过程构建物理模型如图10所示,本题就是在变式3模型的基础上进行变化,将两个物块放在斜面上,运动过程相类似,求解此题关键要对运动过程建立模型及分析A、B在整个过程中的受力情况,刚开始时A、B处于静止,对A受力分析可知道刚开始时弹簧的压缩量x1,当分离瞬时B与挡板之间相互作用的弹力为0,对B受力分析可知弹簧的伸长量x2,通过运动过程图像可知道A的位移d与x1和x2的关系．

解析:设未施加拉力F时弹簧的压缩量为x1,对物块A受力分析,由平衡条件可知

mAgsinθ=kx1.

(1)

当B刚要离开挡板C时弹簧的伸长量为x2,对B受力分析,由平衡条件可知

kx2=mBgsinθ.

(2)

对A受力分析,由牛顿第二定律得

F-mAgsinθ-kx2=mAa.

(3)

从开始到此时物块A的位移为

d=x1+x2.

联立(1)、(2)式可得

点评:求解此题的关键在于画运动过程图像和对物块正确受力分析,根据平衡条件确定弹簧的压缩量、伸长量,通过过程模型和分离条件确定物块A向上运动的位移d与压缩量、伸长量的关系．在教学时要分析物块A向沿斜面向上为什么不是匀加速直线运动的原因．

图11

(1) 弹簧的劲度系数;

(2) 物块b加速度的大小;

(3) 在物块a、b分离前,外力大小随时间变化的关系式．

图12

从物理思维的角度分析:对运动过程构建物理模型如图12所示,此高考题是在上一题的基础上将两个物块叠放在一起进行变形,求解此题时应弄清楚整个运动过程及a、b运动的位移时间关系,所以必须画出运动过程模型图,方便学生理解过程,找到对应物理量;同时要知道物块a、b分离时的临界条件:分离瞬时ab之间相互作用的弹力为0,a、b的加速度相等．

解析:(1) 物块a、b静止在斜面上,对ab整体受力分析,由平衡条件可知

(1)

(2)

(2) 设物块b匀加速运动的加速度为a,物块a、b分离时b的位移为x1,相等时间为t,由运动学公式得

(3)

(4)

a、b分离时a、b之间相互作用的弹力为0,a、b的加速度相等,弹簧仍然处于压缩状态,分离瞬时对a受力分析,由牛顿第二定律可知

k(x0-x1)-mgsinθ=ma.

(5)

联立以上各式解得

(6)

(3) 设外力为F,经过时间t1弹簧的压缩量为x,在物块a、b分离前,对ab整体受力分析,由牛顿第二定律可得

(7)

(8)

联立以上各式解得

点评:根据运动学规律可明确分离时的位移,从而确定对应的形变量,第一过程,物块a、b紧贴在一起匀加速直线运动,运动过程的临界状态,一段时间后物块a、b分离瞬间,第二过程,a、b分离后b继续做匀加速直线运动．利用整体与隔离相结合的方式进行受力分析和运动过程分析,根据牛顿第二定律列式即可求得拉力随时间变化的表达式．

3 物理教学建议

3.1 注重力学基础教学——受力分析

在高中物理教学中,力学占据着很重要的地位,要想学习好高中物理,基础是力学,而受力分析是力学的核心基础,是解决力学问题的钥匙．所以作为物理教师,在高一受力分析讲解时要注重对物体受力分析模块内容的讲解,教会让学生画受力分析示意图的能力,作为一线的教师常常发现学生学不会、学不懂物理,最主要的原因是力学没有学好,不会画物体的受力分析图或画错受力分析图,只有正确的画出受力示意图,才能根据平衡条件或牛顿第二定律列出相应的方程,为下一步分析做功问题,能量转化打下坚实的基础,所以要想学好高中物理,首先就必须先学会、学好受力分析．

3.2 构建物理模型,促进学生分析能力

高中物理试题模型中有许多物理过程是比较抽象难懂的,学生不易理解和掌握,在平时的课堂教学过程中,我们应有意地进行物理模型的构建思维教学,将物理模型的构建与运动过程的分析有机的结合起来,让学生知道到物理模型的构建与运动过程的分析是解决力学问题行之有效的方法．通过对物理问题的分析,重点体现物理模型构建思维及分析研究思路的教学,尤其是对较复杂物理过程中通过物理模型的构建,抓住问题的本质特征,正确运用科学抽象思维的方法构建物理模型,还原运动过程,有助于学生物理思维能力提高,有助于学生去掌握物理学的研究方法,培养学生分析问题、解决问题的能力,从而达到了我们课堂教学的目标．

3.3 一题多变,思维拓展

对于高中物理的学习很多教师推崇题海训练战术,但是大量实践证明,简单机械的训练对于物理学科成绩的提高是低效的,这种方法不利于培养学生的科学思维和探究问题的能力．因此建议教师在进行课堂教学前应该精选试题,课堂要求精讲细讲,一题多解、一题多变、一题多问的方式激发学生的思考,构建物理思维模型,总结解题的方法和技巧．