对一个连接体初始受力情况的分析

陈小明

(铜陵市第一中学,安徽 铜陵 244000)

通过绳相连的连接体是高中物理常见的一种模型,在两物体的速度问题上,主要考察沿绳方向速度相等,这是学生容易掌握的知识.但两物体的加速度有何关系,却在高中物理所学知识范畴之外,在一些资料上也经常会出现错误,现以一个常见的习题为例进行说明.

1 提出问题

图1

试题.如图1所示,将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端,轻绳的另一端系一个质量为m的小环,小环套在竖直固定的光滑直杆上,光滑定滑轮与直杆的距离为d.现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放,当小环沿直杆下滑距离也为d时到达B处.下列说法正确的是(重力加速度为g)

(A) 小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2mg.

本题的答案大多数资料给的都是(A)、(B)、(D).其中对(A)选项的分析如下,小环在初始位置时,重物处于最低点,然后小环下降重物上升,因为重物在最低点时有向上的加速度,所以绳中张力大于2mg.然而重物的初速度为0,要向上运动,必须有初始加速度吗,答案是否定的.这里可以类比为一个物体做匀加速直线运动,初速度可以为0.

2 问题探讨

图2

先来讨论小环和重物的加速度关系,以绳与滑轮的接触点O为极点,水平向左的射线Ox为极轴,建立极坐标系[1]如图2所示,小环的位置由极径r和极角θ决定.

2.1 小环的加速度

放牧方式对人工草地植被生物量及碳密度的影响……… 徐智超，祁 瑜，梅宝玲，卓 义，王凤歌，武胜男，邬嘉华，温 璐（110）

2.2 重物的加速度

2.3 小环和重物的加速度关系

联立可得小环和重物的加速度关系为

3 一般情形

3.1 初速度为0

现在讨论在运动过程中,绳中张力的变化情况.对小环和重物,由牛顿第二定律得

mg-Tsinθ=ma1，

结合加速度关系,联立可解得

由机械能守恒定律得

v1sinθ=v2

小环运动到最低位置时速度为0,可解得θ=53°

利用几何画板作出拉力T随θ变化的函数图像如图3实线所示.从图像中可以看出,初始时y=2,即T=2mg,随着小环向下运动,拉力先增大后减小.

图3 张力随角度变化关系

3.2 初速度不为0

若设初始时小环的速度大小为v0,由机械能守恒定律得

可解得此时

绳中张力为

函数图像如图3虚线所示,可知初始时T>2mg,小环向下运动过程中,拉力先增大后减小.

4 小结

速度是生活中常见的物理概念,学生能很形象地感知直线运动速度的大小和方向,在绳相连物体的速度关系分析时,我们可以通过绳长不变,让学生掌握沿绳方向速度大小相等这一特点.而加速度概念比较抽象,学生经过高中物理的学习,对加速度有初步的了解,但对