一道“计质量的绳子”试题引发的思考

方全波

(重庆第八中学校,重庆 400030)

在一次自主招生培训中,遇到了如下一道物理试题,该试题是一道常规试题,对于高三且有一定竞赛基础的优秀学生来说轻易而举．那如何把试题处理得更有意义,让学生有意想不到的收获,显得格外重要．

图1

试题呈现.如图1所示,一个半径为R的1/4光滑球面放置在水平桌面上．球面上放置一光滑均匀绳子,其A端固定在球面的顶点,B端恰与桌面不接触,单位长度的质量为λ．试求绳子A端受到的拉力．

1 常规解法

1.1 微元法求解

因为该试题中的绳子是计质量的,且与以前处理的滑块问题等有所不同,绳子是弯在球面上的,学生很容易想到微元法．有如下的2种解法.

(1) 功能关系解题.

设想这样一个虚拟过程,绳子受到A点的F拉力使绳子缓慢向上移动一个小距离Δl．

拉力F做功为WF=FΔl，绳子所受重力做功为WG=-λΔlgR.因为球面光滑,且绳子缓慢向上移动,绳子的动能没有变化,所以满足FΔl=λΔlgR，

图2

得F=λgR.

(2) 平衡法.

如图2所示,对绳子微元后,每一小微元Δθ对应的绳子的合力都应该为0．则

因为Δθ≈0，所以

ΔF=F1-F2=λRΔθgsinθ,

对此式积分得

1.2 整体法求解

(1) 定轴转动定律求解.

因为绳子整体静止,所以可以认为绳子绕O点转动,合力矩为0．由分析可知，球面对绳子的支持力的力矩为0．则

图3

也可以先求出整条绳子的质心．建立如图3所示的直角坐标系．

(2) 三力共点且平衡求解.

图4

2 割补法

此题中的绳子一端固定在A端,一端恰在B端与桌面不接触,首尾不相连．借助以前学的割补法,要是在AB两端再加上一段相同材料的绳子,让其形成闭合绳子会不会对解题有所帮助呢．

图5

如图5所示为补偿后形成闭合绳子后的示意图,由机械能守恒知,开始该闭合绳子能够静止,后面一定也静止．因为质量均匀,所以OB下方的绳子对O、B两点的拉力F1大小相同,左右两边的绳子对A点的拉力F大小也相同．这样就把求右侧弯曲绳子对A拉力的问题,转化为左侧直线绳子对A拉力的求解问题．则F=λgR+F1．要使题目中的AB段绳子处于静止状态,只需要在A处施加一个大小为F=λgR的拉力即可．显然简化了运算．

3 类比“水压” 法

图6

在用割补法解决这个问题时,我们发现要使AO段竖直绳子和AB段圆弧绳子分别静止,对A点其施加的沿绳方向拉力大小应相同．如果构造的封闭绳子左侧不是竖直的,那又是什么情况呢?

如图6所示,若构建的封闭绳子左侧放在光滑的斜面AC上时,我们会发现CB段下方的绳子对C、B两点的拉力大小相等;左右两边的绳子对A点的拉力大小也相同,那么AC段绳子与AB段绳子对A点的拉力大小也是相同．通过进一步分析发现:AC段可以为任意形状的光滑面,只要C、O、B3点在同一条直线上,AC段绳子与AB段绳子对A点的拉力大小都是相同．也就是说要使相同材料的绳子静止在图示等高的光滑面上(如图7),对绳子顶点施加的沿绳子方向拉力的大小都应该相同F=λgh．

图7

图8

之所以在顶点需要拉力是因为本题考虑了绳子的重力,从而使绳子发生形变,绳子内部出现了弹力．水的压力本质也是因为水的重力,导致水的内部出现弹力．不同的地方在于本题中的绳子是被拉长的,而一般情况下水是因受重力被挤压的．我们可以把此题中的绳子想象用如图8所示容器装的单位长度的质量为λ的水,就变成了求水对A处的压力了．此题就可以直接得出结果F=λgR．

在学生学习的不同阶段,试题所起到的作用是不同的．在学习新知识的阶段,试题的最大作用体现在对刚学知识的反馈上;在提高阶段,对试题的处理上不能就题讲题了,我们需要尽可能的启发和引导学生从不同的角度、不同的思路及用不同的方法去解决该问题．本文从常规的解题思路,引申到割补法、进而找到类比“水压”的方法,从而使试题的广度和深度被挖出来.这样才能起到事半功倍的效果.通过这样的处理,学生才能找到知识与知识、试题与试题、方法与方法之间的联系,最终形成发散性的思维,提高学生处理问题的能力．