通过研究中考试题的解题策略来提升学生的数学核心素养

严季隆 高晓晴 李鸿

摘 要：数学核心素养是数学留给学生的超越知识以外的内涵，在近年的中考试题中都有很好的体现，它指引着初中数学课程教与学的方向。文章通过研究近些年中考试题的解题策略，探索提升学生的数学核心素养的路径。

关键词：核心素养;数学;命题

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 收稿日期：2019-04-11 文章编号：1674-120X（2019）24-0060-02

教师要教会学生的不只是课本里的知识，还要教会学生知识以外的东西，甚至超越知识体系以外的内涵。人们所学的知识随着时间的流逝会逐渐淡忘，很难留下太多的痕迹。但如果在学习的过程中，能掌握超越知识以外的内涵，终究会留下一些融入我们的思想，变成本能的一部分。或许这就是学习的意义。而数学作为一门基础学科，除去知识以外留给学生的应该就是数学核心素养。

认真研究近些年的中考试题，我们不难发现，许多试题都旨在考查学生的数学核心素养。因此笔者命制一道中考模试试题：

已知抛物线C1经过点A（-1，0），B（-3，0）两点，且抛物线C1相应的二次函数的最小值为-1，求：

（1）抛物线C1的方程.

（2）若抛物线C2与抛物线C1的图像关于y轴对称，且抛物线C2与y轴交与C点，D为顶点，同时抛物线C2上点E的横坐标为，试判断△CDE的形状。

（3）若E在拋物线C2上运动，试问：△CDE能否为直角三角形？若存在。求出点E的坐标，若不存在，请说明理由。

此题起点不高，但要求较全面。本题蕴含了“数与形、代数计算与几何证明、相似三角形的判定与性质、画图分析与列方程求解、一次函数与二次函数、直角三角形与勾股定理、对称变换与图形组合”等一系列的数学内容。同时数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等数学核心素养也得到充分的考查。

同时本题是以代数与几何相结合作为题目的背景，利用二次函数性质并结合数形结合、分类讨论思想、转化的数学思想来解决此题。想要解答出本题，对学生的数学综合素养要求很高，我们要探索一条道路，让学生逐步解决问题，形成解题策略。分成四步骤进行：

（1）逆向拆解：思考学生解答每一个小问题，需要具备什么样的基本知识与基本技能？

（2）难点细化：让学生一步一步达成目标，需要设计前置问题。

（3）技能固化：需要刻意练习，需要搭配若干技能巩固的练习串。

（4）综合性变式训练：四基是核心素养的基础，通过技能巩化后的变式训练，让学生的核心素养的培养有落脚点。

针对模拟试题中的三个小问题进行设计。

第（1）小问

（一）逆向拆解

第（1）问是求抛物线的解析式，学生必须懂得抛物线有哪几种表达式。

它们是一般式、顶点式、双根式。本题要选择哪一种？

根据条件，本题可以用顶点式也可以用双根式。

那接下来如何求出抛物线的解析式？

这时候，学生必须会用待定系数法，从而建立一个一元一次方程，即可得出结论。

这是二次函数教学中最基本的教学要求。

（二）难点细化

第（1）问中利用待定系数法求二次函数的解析式时，学生要明白每个解析式都含有三个参数。在顶点式中若已知顶点，相当于只剩一个参数未知a，所以再带入一个点或其他一个条件就可以求解;在双根式中也是一样的道理;在一般式中，三个参数都未知，所以就需要三个条件才能求解。这些都需要学生在拿到试题时要懂得去区分、判断。

（三）技能固化

（1）已知抛物线顶点坐标为A（-2，3）且抛物过点B（-4， 1），求抛物线的解析式。

（2）已知抛物线与x轴交于（1，0）和（3，0），且抛物线过（2，5），求抛物线解析式。

（3）已知抛物线过A（1，4），B（2，5），C（3，7），求抛物线的解析式。

第（2）小问

（一）逆向拆解

第（2）问是判断△CDE的形状型。学生首先要明白，常见的三角形有哪些，每种三角形又具备什么样的特性，要如何去判定。三角形主要从等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形的方向来考虑。这些都要求学生做到心中有数。

（二）难点细化

第（2）小题是判断△CDE的形状，主要从等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形的方向来考虑。本小题中这里C、D、E各点由C2而来，而C2又由C1而来，所以根据第（1）小题的结论，通过对称变换，关于y轴对称求得C2方程，进而得到C，D两点的坐标。观察E点在C2上且横坐标为，由点在函数上的特点可求E点坐标，到此C、D、E三点坐标都求得，画出示意图，可以猜想△CDE为直角三角形。显然通过勾股定理可以求得CD、CE、DE三边长，再根据勾股定理的逆定理可以判断△CDE为直角三角形。也排除了等腰直角三角形的进一步可能。

（三）技能固化

（4）在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，求证△ABC是等腰三角形。

（5）已知△ABC的三个顶点坐标为A（2，1），B（4，1），C（3，2），请判断△ABC的形状。

（6）在等腰三角形△ABC中，AB=AC，D为AB的中点，CD⊥AB，则△ABC是______ 三角形。

（7）在Rt△ABC，sinA=，∠BCA=90°，D是AB的中点，判断△BCD的形状。

第（3）小问

（一）逆向拆解

第（3）问要求学生既要具有基本的几何运动的变化思想、分类讨论的思想、数形结合的思想，又要具备基本的观察和逻辑推理能力，同时还要掌握图形运动变换的性质和直角三角形的分类。E点由静到动，判断△CDE为直角三角形，显然要对直角的不同位置进行分类讨论，有三种情况。

（二）难点细化

第一种情况，若CD⊥CE，观察图像可得CE∥DE′。

由待定系数法求出DE′的方程，再由CE∥DE′斜率相等得到CE斜率，再加C点坐标，可求出直线CE方程，联立CE和C2方程，求得E点坐标。

第二种情况，由图像可知，∠CED=90°，通常是添加与x， y轴的平行线（或者垂线），构造三角形相似，再由相似三角形的性质求得结果。可以设E点的横坐标为m，用含m的式子来表示相似三角形的对应边，再由相似三角形对应边成比例列出方程，求得m的值，求得 E点坐标。

第三种情况，即第（2）小题所求得E（，）。这和第二小题相关很容易得到，但是又是容易疏忽的。

到此第（3）小题中的各种可能都讨论完毕，最后也求出符合条件所有E点坐标。要注意的是最后别忘了下结论。

（三）技能固化

（8）在△ABC中，三边长为a，b，c，则可以判断△ABC不是直角三角形的是（     ）。

A. a=3b=4c=5             B.  c∶b ∶a =5∶12∶13

C. a=8b=15c=17          D. a =7b =24c=26

（9）在平面直角坐标系中，已知A（-1，-1），B（3，-1），C（1，1）求证△ABC是等腰直角三角形。

例如：对原有试题中的条件进行改变。

（四）综合性变式训练

变式1：设置新的动点F。

让E点为静止，再引入新的动点F。

题目的第（3）问可以延伸和拓展成：若F点在抛物线上运动，试问：是否存在点F与C、D、E中任意两点所构成的三角形是直角三角形。

变式2：改变题目的条件 。

将本题的第（2）（3）小题的垂直条件變成等腰，或等边三角形，或直角等腰三角形。

这些三角形都是初中阶段重点考查的对象。

所有理论都是为了实践服务的，研究中考命题是为了在日常教学中更好地指导我们关注数学核心素养的培养。数学核心素养源于数学的基本知识与方法，对其进行抽象而衍生出来的产物。当然，学生对数学核心素养的掌握是在平时学习过程中，教师引导，自己积累，慢慢沉淀而成。于是教师“教什么？怎么教？”就成为关键所在。注重教学理论和教学实践的统一，才能让课堂成为学生培养数学核心素养的有效场所，提高教学质量。

参考文献：

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