用直觉理解高 发展空间观念
——以《底和高》的教学为例

浙江省义乌市艺术学校 李玲静

概念的教学要基于儿童的生活直观感知，形成循序渐进相互联结的逻辑框架，这是对教材编写提出的要求，也是对教师教学提出更高的行为导向，理解概念，举一反三，能活学活用是高阶的数学素养，教师给学生头脑中立起来的知识逻辑序列要非常严谨与深刻。但是从两个版本的教材中对底和高知识点的处理，一些教师难以把握，部分学生在建立概念上有一定的困难，如A版本教材中以梯形的高展开教学，借助平行线之间的距离，带出三角形的高，一个课时中学生要学习梯形、平行四边形、三角形的底和高，并且还要画出对应底边上的图形的高。教学中学生对三角形底和高中钝角三角形找较短两条边上的高这一难点有如蜻蜓点水一带而过。梯形高的定义是如果把桥洞的形状看成一个梯形，梯形的上下两底平行线之间的距离就是“限高”的高度，也就是梯形的高。三角形的高的定义是从一个顶点、向底引出的垂直线段就是高；平行四边形的高的定义是可以从边上任意一点画垂线，画出的这些线段就是高。这个版本给出的高的定义方式以描述性和画高的动态过程方式来定义。又如B版本教材是先安排在平行和垂直之后认识梯形和平行四边形的底和高，进而在三角形的特性中认识底和高的，定义三角形的高是从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。相对来说B版本教材，给出的定义相对严谨一些。但是，教材并未把高的意义理解作为一个难点展开，只提到了在锐角三角形中的三条高的情况，显然钝角和直角三角形的高需要老师进一步深化处理。基于对以上两个版本的认识及学生的学情，笔者将底和高分解为两个课时进行教学，第一课时教学三角形的底和高，第二课时教学梯形和和平行四边形的底和高。初步研究过程举例如下：

一、基于直觉，经验改造

将高的概念建立在学生的直觉基础上，进行经验的改造。

《三角形的底和高》案例

环节一：填一填 这棵树的高是（ ）米？

提问：为什么不选2米？（不是顶点到地面的距离）

为什么不选7米？（没有与地面垂直）

达成共识：树高应该是从顶点到地面的垂直距离。

如果树被风刮歪了，此时树高又是指从哪儿到哪儿的距离？

区别树长和树高的不同。

【设计意图：开门见山，直接指向高的概念本质，提炼出学生对高的直觉经验是从顶部到地面的垂直距离，利用台风把树刮歪了，剥离树长与树高，揭示树高的本质特征是由顶部到地面的垂直距离。】

环节二：钝角三角形的底和高

图1

图2

图3

先指一指图一钝角三角形的高，再将钝角三角形翻了个身，找一找图2中三角形的高，接着再翻了个身，指一指并画一画钝角三角形的高。

【设计意图：钝角三角形对高的概念建立意义尤其重要，因为有在图形外面的高，借助被风吹歪的小树经验迁移，此时学生理解钝角三角形的高水到渠成，最难的点反而是最简单的，达到事半功倍的效果。】

《梯形的高》案例

环节一：学生直觉的高

师：同学们，今天我们来认识底和高。知道什么是高吗？

谁能来指一指或说一说。桌子高、身高、楼房高……

师：看大屏幕，什么是人的身高？从哪儿到哪儿的距离？

师：大家说的高都有什么相同的地方？都是从地面开始到物体最高点的距离。这些高的线与地面形成什么关系？板书：从最高点 到 地面的垂直距离。

【设计意图：从学生的直觉高入手，引导学生用数学的眼光观察高，通过对比找出描述高的相同之处都是从地面开始到物体最高点的垂直距离。】

环节二：凳子的高

师：生活中像桌子这样的物体有没有高？它的高指的是从哪里到哪里的距离呢？

若取若干个点，这若干个点就成了什么？一条线，这条线与地面的线有什么关系？

让孩子们说一说什么是桌子的高。（一组平行线之间的垂直距离）

【设计意图：通过引导学生找出凳子的高，发现可以找出无数条，且这些无数个点连成线，与地面形成平行线的关系，从而得出一组平行线之间的垂直距离是梯形的高。】

以上，不论是以三角形的高入手还是以梯形的高入手，都借助了学生的直觉经验，引导学生用数学的眼光进行观察、归纳，建立高的初步概念。

二、丰富表象，以破促立

课程标准中对空间观念的描述关键之一是能想象物体的方位和相互之间的位置关系，学生能在图形的运动和变化中能找到不变的关系便是极好的空间观念。如，

《梯形的高》案例

师：如果把桌子放在斜坡上，这时候桌子的高指的是什么？

结论：高不变。

又如，旋转梯形之后，让学生找一找梯形的高。你发现了什么？

上述案例中，通过将凳子斜放找高，将梯形旋转找一找高，把学生建立起来的高破一破，然后重新建立起来高的概念会更深刻，进一步发展学生的空间观念。

三、动态勾联，举三返一

发展学生空间观念，还有很重要的一条途径是让学生在变化中发现图形之间不变的特点或相互之间的联系，即化静为动，帮助核心概念理解。

如，在《三角形的底和高》案例中的拓展环节，用几何画板呈现了以下效果：

向左逐渐拖动顶点A，三条高随着位置不同的变化从图形内变换到图形外，图形也由锐角三角形逐渐变换成直角三角形（两条直角边互为底和高），最后变换成钝角三角形，高在图形的外面。

又如，在《底和高》复习课中进行知识勾连，用几何画板呈现了以下动态效果：

图1

图2

图3

图4

找一找图形的高，你发现了什么？

上述案例，教材以不同形式呈现了三个图形高的概念，学生识记起来比较多，因而需要有一个环节将这些图形的底和高进行勾连打通，引导学生发现这些高都在两条平行线之间，将零碎的知识通过动态呈现，归纳达到举三返一的效果。

高的生活说法是由下向上距离大或者离地面远，与低相对，数学上的定义是顶点到底部（顶点或平行线）的垂直距离，因此，很多老师将生活中的高与数学上的高完全割裂开来，让学生重新理解数学上的高。在数学上，学生有了过一点画一条线的垂线的经验，所以许多老师在教学画出三角形的高时都会让学生找线找点，然后画垂线。可实际上，很多孩子很难在一个钝角三角形中找出对应的点和线，因此，从锐角三角形到直角三角形最后再画钝角三角形的高，感觉是步步为难。教过老教材的老师们都有印象，画钝角三角形外的两条高，有些孩子手把手地教，换了一个图形又不会了，如此反复煞费周折且效果不佳，我想应该是孩子不理解高的意义吧。新教材中将画钝角三角形的高这一知识点给删除了，降低了画高的要求，然笔者认为，在几何图形的学习里三角形是基础图形之一，高的意义理解非常重要，作为有经验的老师应当认识到高这一概念对几何教学的基础作用，我们应将高的概念教学作为研究点，帮助学生更轻松理解数学上高的定义，从而找到并能画出图形的高。

总之，本案例建构高的概念基于学生的直觉，改造经验，动静结合，丰富表象以达概念深刻，发展了空间观念，关注了学生的数学核心素养。