“方程的根与函数的零点”教学设计

李晓娜

[摘           要]  借助GeoGebra软件，以数形结合为主线，对“方程的根与函数的零点”一课进行教学设计，意在引导学生体会零点定义由特殊到一般的推导过程，凸显零点存在性定理的发现过程，以培养学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理以及辩证思维的数学素养。

[关    键   词]  零点;数形结合;化归转化

[中图分类号]  G712                 [文献标志码]  A              [文章编号]  2096-0603（2019）22-0220-02

一、教学设计理念

（一）教学任务分析

方程的根与函数的零点是学生学习函数与方程的第一课时，以基本初等函数为基础，为用二分法求方程的近似解奠定基础，在课程中起着承上启下的作用。

（1）学生在初中已经学习了一些基本初等函数的图像及性质，并具备判断一些基本初等函数单调性、奇偶性以及进行简单加减运算的能力。（2）结合学生熟悉的方程根的概念，以及初等函数图像的简单性质，初步领会函数零点的概念，培养学生的归纳思想、化归转化思想以及数形结合思想。（3）学生亲历函数零点存在条件的探究过程，通过函数零点左右两端附近函数值符号变化这一背景，归纳出零点存在性定理，以及零点存在性定理并不是函数零点存在的充要条件，培养学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理以及辩证思维的数学素养。

（二）教学重难点

教学重点：引导学生体会函数零点与方程的根之间的联系。

教学难点：零点存在性的判断。

二、教学过程简录

（一）温故知新，引入新课

问题1：如何判定任意一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）实数根的情况？

生：根据Δ=b2-4ac与0的关系，来判断方程实数根的情况。

师：同学们回答得很好。现在老师用书本将方程等式右边遮住，现在你会想到什么？

生：二次函数。

师：对！二次函数y=x2+bx+c（a≠0）的图像是什么样子呢？

生：它是一条抛物线。

设计意图：通过对中学学习的一元二次方程以及二次函数一些简单性质的回顾，引导学生将方程与函数联系起来，引起学生求知欲，为函数零点的引出做准备。

问题2：请同学们在学案上求出方程x2-2x-3=0，x2-2x+1=0，x2-2x+3=0的实数根，并画出其所对应的函数图像。思考：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的实数根与其对应的二次函数的图像与x轴交点有什么样的联系呢？

生：方程的实数根就是相应函数图像与x轴交点的横坐标。

师：这个实数在我们后续的学习中非常重要，我们就把它称为函数的零点，该怎样来描述呢？

生：对于函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫作函数y=f（x）的零点。

师：什么是函数的零点呢？函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标，是方程的实数根。从定义上来看求解函数零点的问题其实就是解方程的问题。

设计意图：通过对函数图像的观察，经历根的求解过程，抓住问题的本质，在认识上从感性上升到理性，助推认识的升华。通过分析、比较，提炼出函数零点这个概念，生成概念也就顺理成章。众所周知，数学概念教学是发展学生数学核心素养的重要载体，在教学中，设置情境、剖析问题，让学生弄清概念的缘由，在理解概念的基础上才能灵活运用概念。

（二）例题讲解，巩固新知

例1.求函數f（x）=x（x2-16）的零点（  ）

A.（0，0） （4，0）       B.（0，4）

C.（-4，0） （0，0） （4，0）   D.（±4，0）

有的学生认为第一步需要先找出函数所对应的方程x（x2-16）=0，然后求得这个方程的实数根是0，±4，因此选择D。而有些同学认为应该选择C。在此强调函数的零点只是函数图像与x轴交点的横坐标，而不是坐标点。

设计意图：通过求函数f（x）=x（x2-16）的零点一方面让学生熟练掌握函数零点求解过程，另一方面让学生对函数零点概念的理解有更进一步的认识，利用化归转化思想解决问题。

（三）合作探究，构建定理

问题3：所有函数都有零点吗？如果不是，请举出反例。

生：不是，函数y=x2-2x+3就没有零点。

生：函数y=也没有零点，还存在其他的一些没有零点的函数。

师：是的。我们用数学软件来画出这两个函数的图像。（如图1）

设计意图：刚刚学习函数零点的概念，容易使学生的思维受到已有知识禁锢。问题3在此时提点学生不是所有的函数都存在零点，让学生举例出不存在零点的函数的个例，将本节课知识与学生已有知识联系起来，一起让学生思考与想象。该问题也为后来引出零点存在性定理作铺垫，起到承上启下的作用，体现了学生的思辨能力以及数形结合思想。

问题4：函数的零点在什么条件下存在呢？

生：……（沉默）

师：对比图1，我们来一起观察表格中的三个函数有什么共同的特征呢？

生：首先表中的三个函数都存在零点，然后……（不知如何描述）

师：让我们一起来看一看。我们在零点两侧附近分别取值，有什么发现呢？

生：位于零点两侧附近的函数值分别大于零或小于零。

师：对。我们以函数y=sinx的函数图像为例。我们在零点两侧分别取x1，x2，x3三个点，这相邻的两个点所对应的函数值有什么特征呢？（如下图）

生：异号，并且有f（x1）·f（x2）<0，f（x2）·f（x3）<0。

师：也就是说在函数在区间[a，b]上，满足f（a）·f（b）<0，那么在区间（a，b）可能存在零点。什么情况下零点一定存在呢？我们再来观察一个特殊的函数图像（如图3），这个函数图像同样满足f（x1）·f（x2）<0，但在区间（x1，x2）上却没有零点，因此我们需要补充什么样的一个条件呢？

生：函数图像在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线。

师：嗯。那我们把这两个条件结合在一起可以怎么表述呢？

生：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的函数图像是连续不断的曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点。即存在c∈（a，b），使f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根。这就是零点的存在性定理。

设计意图：引导学生亲历零点存在性定理推理过程，培养学生直观想象、逻辑推理能力，学生更能深刻地认识到函数零点存在的条件，在学习中体会发现“真理”的乐趣，培养数学兴趣。

问题5：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的函数图像是连续不断的曲线，但不满足f（a）·f（b）<0，是否意味着函数没有零点呢？

生：二次函数中函数图像只与x轴有一个交点的函数，比如y=x2-2x+1等于其类似的函数在定义域上连续，不满足f（a）·f（b）<0但仍存在一个零点。

师：是的。这也就是说零点存性定理只是函数零点存在的充分条件，并非必要条件。

设计意图：通过问题5，调动学生的直观想象、数形结合、逻辑推理能力，引导学生经过一系列的数学思考后明白零点的存在性定理只是函数零点存在的充分条件，培养学生的辩思能力。

（四）定理应用，能力提升

问题6：求函数y=lnx+2x-6零点的个数。

生：用零点存在性定理。由于函数y=lnx+2x-6的定义域为（0，+∞），并且为单调增函数，又因为f（2）<0，f（3）>0，满足f（2）·

f（3）<0，所以函数只有一个零点并且在区间（2，3）上。

师：大家说这位同学讲得对不对？

生：对！

师：这位同学熟练地运用了函数零点存在性定理，并结合函数奇偶性来判断函数零点的个数，非常好。这道题还有没有其他的解法？

生（举手示意，并上台讲解）：写出函数y=lnx+2x-6所对应的方程lnx+2x-6=0，即lnx=-2x+6，求函数y=lnx+2x-6的零点就可以看作求函数y=lnx与y=-2x+6函数的交点，分别画出它们的图像，交点的横坐标就是函数y=lnx+2x-6的零点。（学生板演略）

（全班掌声响起）

老师用GeoGebra软件作出演示函数y=lnx+2x-6的图像，并进行验证。（PPT展示）

设计意图：通过上述问题检验学生对函数零点存在性定理的掌握、理解、运用情况。拓展学生思维，使学生养成严谨的数学思维习惯，提升学生数形结合意识、数学运算能力等数学素养。

（五）课堂小结，素养升华

引导学生对零点的定义、零点存性定理、数学思想方法三个方面进行归纳总结，并强调零点概念的易错点以及运用零点存在性定理求零点时要注意到函数的图像必须是连续不断的曲线。

设计意图：引导学生从知识、方法、思想三个方面对所学知识进行总結，增强学生的自主学习能力，培养学生抽象概括素养。

三、课后思考

在函数满足零点存在性定理的条件下，函数零点所在的区间是否可进一步缩小，怎么便捷有效地缩小？

设计意图：引起学生思考，为下节课用二分法求方程的近似解作铺垫。

四、教学反思

本小节的主要是概念教学，概念教学在数学教学中起着非常重要的作用，它是学生了解数学、理解数学、掌握数学、应用数学的基础和源泉。由于在此之前学生没有学习过函数连续性的概念，所以不能以有关联系性的概念来进行推理，只能直观地依靠图像讲道理。通过对函数图像的观察经历根的求解过程，抓住问题的本质，从感性认识上升到理性认识，助推认识的升华。通过分析、比较，提炼概念，生成概念也就顺理成章。但从整体的知识构架来看，学生必须经历一个由“数”到“形”再到“数”的认识过程，而正是这个过程不断提升着学生直观想象、数形结合、化归转化、逻辑推理、辩证思维等数学素养，培养学生在学习中体会发现“真理”的乐趣，培养数学兴趣。

参考文献：

[1]王赟.课例：方程的根与函数的零点[J].中学数学教学参考（上旬），2018（11）：12-15.

[2]陈德燕.创设教学情境，启发学生思考，把握数学本质：方程的根与函数零点教学案例[J].福建中学数学，2018（11）：21-24.

[3]袁亮.“方程的根与函数的零点”教学分析与建议[J].数学教学通讯，2018（21）.

[4]黄之.正确解读教材文本 准确把握教学内：对“方程的根与函数的零点”听课中的几点思考[J].中学数学教学，2016（4）：13-16.

◎编辑 张 慧