走进数学经典

范静

摘 要：“鸡兔同笼”是我国古代著名的古算趣题，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”面对此类问题，常常被人们吐槽，好像数学问题高深莫测，其实不然，“数形结合”的方法会带着我们走进经典，轻轻松松地解决问题。

关键词：数形结合;深度学习;鸡兔同笼

数形结合思想是数学中最重要、最基本的思想方法之一。数学家华罗庚曾说：“数少形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”利用数形结合，能使数与形统一起来，以形助数、以数辅形，可以使许多数学问题变得简单化。

一、以形助数，抽象变直观

以上面的“鸡兔同笼”问题为例，简笔画图能帮到我们。

（一）画图法

上有35头，以椭圆形替代头;下有94足，先都画上两只脚：共有35×2=70（只）脚;还差94-70=24（只）脚，是因为我们把其中的兔子看成了鸡，有些应该是兔子，兔子是4条腿，再2只2只添画，这样从图上就可以一目了然，清楚地看到35头中有12只兔子，23只鸡。

（二）抬腿法

这是一个很有趣的方法，就是一声令下，让鸡和兔子都抬起一只脚，那么地上会剩94-35=59（只）脚，然后再抬起一只脚，这时的场面更滑稽，鸡都坐在了地上，兔子则只剩下两条腿在地上，则地上现在还有59-35=24（只）脚，全是兔子的了，每只小兔还有2只脚在地上，用24÷2=12（只）就是兔子的只数了，随即鸡的只数也可以算出来了，鸡有35-12=23（只）。

还可以让鸡抬一只脚、兔抬两只脚，一次就少了一半的脚数，再各自抬起一只脚，就只剩兔子的一只脚了，地上的脚数就是兔子的只数。算法如下：

兔：94÷2-35=12（只），鸡：35-12=23（只）。

以上两种方法，在简笔画的帮助下，数形完美结合，形象直观地将复杂的问题简单化，通俗易懂，适合小学低年段的孩子学习。

二、以数辅形，拓展思维

（一）列举法

列举法是数学中常用的一种解题方法，也叫枚举法。就是解决问题时，根据解题的需要，把问题分为不重复、不遗漏的有限情况，一一列举出来并加以分析、解决，最终达到解决整个问题的目的。

1.有序列举

这是常规的逐一列举法，根据鸡和兔共35只的信息，假设鸡只有1只，那么兔就有34只，腿共有138条……这样的逐一举例，直至寻找到相符合的答案。

2.跳跃列举

这种是先估计鸡和兔数量的可能范围，来减少举例的次数，达到尽快锁定目标答案。当学生在尝试鸡有1只，兔有34只时，脚的总数就会有138只，比起94足多了很多，说明兔子的只数多了，就调整为鸡有10只，兔有25只，脚的总数会有120只，还是多;再进行调整，当调到鸡有25只，兔有10只，腳的总数会有90只，发现脚的只数变少了，就再往回调，直到得出合适结果。

3.取中列举

这种方法是先假设鸡和兔的只数差不多，从中间数入手，由于鸡和兔共35只，那么就先设定鸡17只的话、兔有18只，接着在举例中根据实际的数据情况确定举例方向，这样可以大大缩小举例范围，在调整中得到鸡有23只，兔有12只。

（二）假设法

所谓假设法，就是根据题目中的已知信息和相关问题作出某种假设，可以假设某两种数量是同一种量，或者把题目中缺少的信息假设出来等，这样就可以使问题得到顺利的解决。

1.假设全是鸡

假设笼子里全是鸡，头数不变，脚应该有35×2=70（只），实际上有94只，比实际少94-70=24（只），每只兔假设成鸡，少了4-2=2（只）脚，多少只兔少了24只脚，就看24里有几个2？即24÷2=12（只）兔子，接着得到35-12=23（只）鸡。

2.假设全是兔子

同样的思路也可以假设笼子里都是兔，头数不变，脚就会多出46只，那是因为把鸡看成了兔，解题方法如下：

35×4=140（只） 140-94=46（只） 46÷2=23（只）鸡，35-23=12（只）兔子

（三）方程

方程是含有未知数的等式，是培养学生习惯于将未知数参与到运算中，将等价的量用不同的代数式表示出来，从而用“正向思考”的方式来解决生活中的实际问题，蕴含代数思想的一种方法。

一元一次方程：

解：设兔子有x只，鸡有35-x只。

4x+2（35-x）=94

x=12

35-x=35-12=23

二元一次方程：

解：设鸡有x只，兔有y只。

x+y=352x+4y=94

解得y=12  x=23

答：兔有12只，鸡有23只。

以上的方法中，从不同的角度思考，或是以形助数或是以数辅形，都能清晰地展示解决问题的思考过程，适合不同阶段的小学生来学习，达到轻松地走进经典，解决看似复杂的数学问题，从而经历深度学习的过程。

编辑 谢尾合