基于“直觉表征”“改造”学生经验

朱孟迪

[摘 要]学生在学习之前已经积累了很多有关平行与垂直的感性经验，教师在教学中要利用好这些“直觉经验”，将其改造成学生的“数学经验”。教学“平行与垂直”时，按照“先体验、再实践、后概念”的教学顺序，引导学生展开思考与实践。

[关键词]平行垂直;改造经验;实践思考

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）29-0063-02

“平行与垂直”是人教版教材四年上册“平行四边形和梯形”单元起始课。教材基于“图形分类”的方式编排：在白纸上任意画两条直线——对两条直线的位置关系分类——认识平行与垂直。这种方式有一弊端，学生所画的平行线不能突显其本质，换句话说，平行线很难画，稍一偏差就是相交（教材已取消平行线的作图要求）。因此，教师可通过改造“学习材料”——借助方格纸让学生“直觉表征”，逐步剥离学生“错误的”“偏差的”“非本质的”经验，帮助学生形成正确的认知。

一、发挥经验，改造经验

师：这是一张白纸，把它看作一个平面，请你展开想象，这个平面可以变得——无限大，我们就要在这个平面内研究直线与直线的位置关系。

1.画出心目中的“平行”与“垂直”

师：想一想，平行是怎样的？垂直呢？想好了吗？请在方格纸上分别画出你心目中的平行与垂直。（学生操作，教师收集作品）

2.交流“平行”——基于经验，改造经验

学生作品：

师：作品一符合你心目中的平行标准吗？ 

生1：平平的线就是平行。

生2：这两条直线的中间都是1格，像这样，中间都是1格1格的，即使无限延长后也不会碰在一起。

师：像这样无限延长后也不会碰在一起的两条直线就是平行，对吗？既然这样，作品二呢？

生3：因为中间都是3格，所以无限延长后它们仍然不会碰在一起。

师：你们都说无限延长，如图2这样延长，它们还是不是平行，为什么？

生4：直線可以无限延长，长一点短一点都没有关系。

生5：只要不碰在一起就可以。

师（转动方向，图略）：你认为这样还是平行吗？

生6：还是平行，因为它们还是不会碰在一起。

师：对，即使改变方向，只要不碰在一起，你们还认为是平行的。

师：作品四中只画了一条直线，这是平行吗？显然不是。如果给它加一条直线变成平行，该怎么画？

师：看来，你们心目中的平行是指两条直线的位置关系。

二、丰富表象，形成平行概念

1.在辨析中丰富表象

生1：①号是平行的，因为无限延长也不会碰头。

生2：②号不是平行的，两条直线相交了。

师：我们把②号这样的位置关系称为两条直线相交，相交的点称它为交点。对于①号的两条直线，我们可以称它为不相交。

师：③号、④号的两直线也没有相交，它们应该算平行吗？

生3：③号的两条直线向左延长后会相交。④号是两条曲线，不是直线。

2.建构平行的概念

师：“在同一平面内不相交的两条直线叫作平行线，也可以说这两条直线互相平行。”想一想，为什么要在“平行”前面加上“互相”两字？

生4：只有一条是不够的，平行是两条直线的一种位置关系。

师：如果一条直线记作直线a，另一条直线记作直线b，于是可以说“直线a是直线b的平行线，直线b是直线a的平行线，它们互相平行。”为了表示方便，数学上还给平行用了上符号——“a[?]b，读作a平行于b。”你看，这个符号多像平行哪。请在草稿纸上表示出自己作品中的平行，并读给同桌听吧！

三、基于经验，形成垂直概念

1.在比较中引入“垂直”

师：让我们把目光聚焦到这些相交的情况。你感觉哪两条直线最特殊？为什么？

生1：⑤号（图3），因为4个角都相等，都是直角。

师：要知道是不是直角，得借助三角尺来验证。

2.形成垂直的概念

师：在数学上，如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫作另一条直线的垂线。如果给这条直线取名为直线a，另一条直线取名为直线b，你怎么理解这两条直线的位置关系呢？

师：现在把这组互相垂直的直线旋转方向，再转动，现在它们还是互相垂直的吗？为什么？

师：在数学上，互相垂直的两条直线还可以用这样的符号表征——“直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b。”

3.判断中理解垂直的本质

师：我画了一些垂直的情况，你有什么新发现？

四、拓宽经验，沟通联系

师：在同一平面内两条直线的位置关系会有几种呢？

师：现在让我们一起来整理。在同一平面的两条直线只有两种情况，一种是不相交，也可以称它为互相平行;另一种是相交，如果相交成直角，它们就互相垂直;如果相交成钝角、锐角，就称它们普通相交。

五、应用经验，解释现象

师：你在生活中看见过平行或垂直吗？这是两条线段a、b（如图5），你怎么知道它们是否平行？

师：有没有互相垂直的？为什么说它们互相垂直？有几组垂直？你对长方形又有了怎样的新认识？

师（出示一张不规则的纸片）：这张纸上有平行吗？垂直呢？你能创造出一个垂直吗？是的，这是我们二年级学习直角时折纸的方法。为什么两次对折后就是直角了呢？

生1：把360°对折一次就是180°，对折两次就是90°了。

师：如果按这样的方法在另一个位置上再折一次，你有什么新的发现？

生2：垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

六、回顾反思，总结经验

本节课基于学生的“经验”改造学生的经验，以帮助学生形成正确的“认知结构”，主要体现在以下三点：

1.改造“平行”经验，遵循“先体验、再实践、后概念”的原则

（1）先体验。课始，确定本课的学习范围——在同一平面内。学生根据自己的经验尝试画出心目中的“平行”，教师通过“改造”学生的“作品”，帮助学生完善对概念本质属性的理解。“改造”中突出以下几点：①平行线之间的格数保持不变，突显平行线之间的距离处处相等的本质;②改造成“一條线长，另一条线短”的视觉效应，突出平行线的本质实则为“直线”，与其长短无关;③改变平行线的方向，借助旋转变化，突显“只要两条直线不相交”的本质。一次次的经验改造，一次次的思维冲突，打破了非本质因素对概念建构的影响，进而把学生的思维聚焦于本质属性上。

（2）再实践。对于教师出示的一组“判断素材”，学生借助直观经验，借助之前的讨论辨析，很容易找到“平行”。同时，“平行曲线”的学习素材也丰富了学生对平行概念本质的理解。

（3）后概念。通过“先体验”与“再实践”，学生头脑中已经有了丰富的平行表象，平行的概念呼之欲出，教师只需要顺势利导，呈现概念即可完成教学目标。

2.改造“垂直”经验，打破学生思维定式

（1）借助判断，突破难点。一方面，以“垂下来的线”为素材展开教学，让学生知道数学中的垂直是两条直线的位置关系，以回应学生“心目中的垂直”。另一方面，学生辨别一般的“垂直”几乎没有问题，但对于“丁字型”或“直角型”的垂直的理解往往存在困难。然而，借助直观演示与争论，学生就把思维聚焦于“两条直线”，进而很好地说明了问题，突破了难点。

（2）沟通联系，形成体系。以“快速判断”两条直线的位置关系为载体，一方面让学生理解垂直是一种特殊的相交，另一方面帮助学生形成两条直线位置关系的框架结构。

3.改造学习经验，拓展知识外延

直线是抽象存在的。学习了本节课的知识，学生对长方形就有了新的认识，如“长方形对边平行”。而借助尺子度量让学生直观看到“这两条线段之间的距离都相等”，即便无限延长也不会相交。至此，学生成功借助学习经验来解释了现实生活。

（责编 金 铃）