高考概率统计试题考查目标的沿革与实现①

赵 轩 任子朝

(教育部考试中心 100084)

概率统计是研究随机现象数量规律的数学学科，包括如何有效地收集、整理和分析相关数据，并对所考察的问题做出推断或预测[1].随着经济社会的发展，概率统计知识在现实生产生活中的应用范围越来越广泛.概率统计也受到各个国家的普遍重视，如美国、英国、法国、俄罗斯、德国、日本等国的高中数学中都有概率统计的必修内容[2].我国从1997年起，将概率统计知识列入中学教学大纲之中，2000年高考中首次出现考查概率的题目，2001年高考中出现考查统计知识的题目.2004年课程改革后，高中教材中大幅度增加了概率与统计的内容，2007年之后的高考，对于概率统计知识的考查进入了一个新的阶段，相关知识内容不只出现在选择、填空题之中，也出现在解答题之中，考查手段、设问方式、答案设置等方面都有了较多的变化，题目愈发灵活.总的来说，由于概率统计内容引入中学课程的时间不长，这些年在概率统计方面的教学也处在逐步探索完善的过程之中.在新一轮课程改革之前，高考试题中概率统计的考查也是一个逐渐摸索、深入的过程，其重点主要放在统计抽样、统计推断、随机等基本的思想方法之上[3].

随着中学教学经验的积累和教学水平的提高，学生的水平也逐步提高，能力不断增强，高考对于统计与概率的考查也更加深入.近年来高考对统计与概率的考查出现了新的趋势：注重基本概念的理解与应用，试题情境更加真实和复杂，模型更加精细和完善.本文以近几年高考数学中概率统计的一些典型题目为例，分析并探讨其类型与特点，以期总结命题规律，强化概率统计知识和数学建模能力的考查，进一步提高试题质量和科学化水平，更好引导中学统计与概率的教学.

1 加强基本概念考查

在中学统计概率部分的教学中，比较容易出现重视做题忽视概念教学的情况，更加侧重对各种题型的解法技巧训练，而忽略了对基本概念的理解.但对于知识的灵活运用和迁移，往往建立在熟练掌握概念，理解其本质的基础之上.中学阶段所学的这些基本内容在大学阶段的进一步学习中将起到极其重要的作用，是深入学习和理解相关数学知识的基石，因此中学教学中应该进一步强化地基，强调对于知识和概念本质的理解.高考作为高校选拔新生的学业水平测试，应该加强基本概念考查，发挥积极的引导作用.同时，随学生水平的提高，也为加强概念考查创造了条件.

例1(2019年Ⅰ卷文科第17题)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意不满意男顾客4010女顾客3020

(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

例1主要考查样本估计总体的思想，频率与概率的联系以及频率估计概率的思想方法，以及对数据的分析和处理能力.其中第(1)问是估计顾客的满意率，旨在考查频率估计概率的思想和方法，第(2)问是用独立性检验方法，回答男女顾客的评价是否有显著差异，考查对列联表独立性检验的思想方法的掌握.题目虽然难度不大，但需要学生对于相关概念有清楚的了解.本题在强调基本概念考查的同时，让学生体会到数据和数据分析与我们的生活息息相关，体会到数学与统计学的应用价值，有利于统计学知识的普及.

例2(2018年Ⅰ卷理科第20题)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

(ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

例2综合考查了概率与统计的基础知识和基本思想方法，以及学生综合应用所学的概率与统计知识分析问题、解决问题的能力.题目涉及的知识范围较广，包括独立重复试验概率模型、二项分布的概念和应用、概率的计算、参数的估计、随机变量的数学期望的计算与应用等.试题设计较新颖，蕴含了极大似然估计的统计思想，情境熟悉而不落俗套，具有一定难度，有较好的选拔功能.正确理解此题，需要学生能够正确掌握概率、随机变量、独立性等定义，了解独立重复试验概率模型、二项分布等概念和应用范围，并能将所学知识灵活运用.本题强调了对于基本概念的考查，对于中学教学具有很好的导向作用，积极引导概率统计教学回归教材、重视概念[4].

在中学阶段，学生仅具备初等数学的基础，概率、统计上的许多概念，其公理化的严格定义很难让中学生理解并接受，因此很多概率统计问题在道理上也难以严格解释清楚.在教学中可以突出重要概念的实际意义，突出用概率统计方法解决问题的基本思想，突出知识的综合应用，通过实际问题加深学生对于概念的认识[5].让学生将抽象的概念与具体的生活实际相结合，从而帮助其进一步理解这些概念的深层次内涵.

2 题目情境更加真实、复杂

近几年的高考概率统计题中，愈发明显的突出理论联系实际的导向.创设符合实际的生产、生活和科研情境，利用更加灵活多变的情境设置展现概率统计知识广泛的应用范围，将概率统计知识与生活和其他学科联系起来，培养学生的应用意识，提升学生解决实际问题的能力.

例3(2019年Ⅲ卷文、理科第17题)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.

(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；

(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).

例4(2018年Ⅰ卷文科第19题)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

(1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；

(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；

(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)

这两个例题都是典型的统计问题，也是我们通常所说的应用题，例3通过生物实验设计的情境，考查考生对于统计概率基本知识和基本概念的掌握程度；例4则通过家庭用水量与节水问题这一生活情境，考查考生整理数据并利用统计概率知识分析处理问题的能力.统计题的核心在于对数据的解读和处理，2017年新修订的高中数学课程标准中提出，数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论[6].但在考试中，受限于时间、考试方式等客观环境，不可能将全过程都纳入到题目考查范围之内.高考中多采用应用题的形式对统计知识进行考查，让考生对给定数据进行整理、提炼、分析，进而得出结论.试题考查的问题着重于对统计知识的掌握和统计方法的应用，对考生提出问题的能力考查相对较少，而将考查重心放在整理数据，利用统计知识分析推断信息之中.

例5(2019年Ⅱ卷理科第18题)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.

(1)求P(X=2)；

(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.

例5将概率问题融入了乒乓球比赛之中，考查考生在实际情境中灵活应用概率知识的能力，并通过选取学生熟悉、喜爱的运动项目作为背景，引导学生关注体育运动，激发学生参与体育活动的热情和兴趣.试题难度并不大，运算也比较简单，重点在于对概率问题的分析与理解.

在试题中强调联系生产生活实际，对于中学教学具有积极的引导作用.在概率统计部分的教学过程中，不应仅局限于应用题，还应对实际问题进行探究，重视培养学生提出问题的能力.此外应让学生尝试解决真正的生产生活实际问题，主动接触社会，自己发现问题，制定计划，获取资料，整理数据，分析结论，通过这些活动来体会统计知识应用的全过程.概率统计部分的很多知识和概念相对抽象，如概率空间、随机变量、分布函数、数学期望与方差等，需要在教学中通过一些简单实际问题给出这些概念和知识的例子与应用，从而帮助学生理解，并形成正确的认识[7].将抽象的知识与生活实际深度融合，不仅有助于学生对于知识的学习，更重要的是能够让学生感受到学数学是有用的，从而提高其学习数学知识的兴趣与意愿.

此外，值得注意的是，在对于概率统计知识的考查中，概率类题目的答案往往比较明确，一个题目只有一个正确答案；但统计类题目有时会存在开放性，对同一个问题也可以从不同角度来分析和解释，有时由于分析方法不同也可能有不同的答案.因此，要平衡好此类题目科学性和开放性的关系，在保证题目科学性的大前提下，可以适当增加开放性，使题目的情境和设问更加符合实际情况.

3 数学模型更加精细、完善

新课程标准中，将数学建模列入六个数学核心素养之中，体现了中学阶段教学中对于数学建模能力的重视.在高考中对于数学模型的要求也越来越高，模型的设置趋向精细、完善，模型中涉及的知识内容也越来越广泛.其中概率统计知识与人们的日常生活和科学技术发展紧密相关，具有很强的理论性和应用性，是数学模型的重要载体[8].

例6(2019年Ⅰ卷理科第21题)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0,p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1).假设α=0.5，β=0.8.

(ⅰ)证明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列；

(ⅱ)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.

例6的题目背景来源于生产实际中药物试验的真实情境，综合考查学生对于概率知识的掌握和灵活运用.题目对试验方案进行了介绍，进而将试验方案抽象为数学模型，对该模型进行了描述，通过层层设问，引导学生理解模型的内部关系，在此基础上解决问题，并在解决问题的过程中分析试验方案的合理性.题目有一定的阅读量，深入考查考生对于题目背景和所给模型的理解能力.本题没有要求学生建立模型或直接求解模型，而是在建立好模型的基础上给出pi=api-1+bpi+cpi+1的递推关系，降低了题目的难度，给学生提供了思维过程的阶梯，并在最后一问中采取开放性的设计让学生进行自主探究，达到了考查学生分析与求解数学模型能力的目的.题目在考查概率知识的基础上，融入了等比数列等知识内容，体现了数学科各部分知识之间的有机联系.

例7(2018年Ⅱ卷文、理科第18题)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图.

(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

例7的题目背景来源于国家社会发展实际，采用真实数据，增强了试题情境的真实性和可靠性.在考查学生概率统计知识的同时，很好展现了数学知识广阔的应用领域[9].试题立足于对概率统计基本思想、基本能力的考查，体现了数学建模的思想方法.与以往此类题目不同的是，本题中没有要求学生通过计算求解回归方程，而是直接给出了两种模型的回归方程，要求学生对其进行分析和判断.通过创新性的设计，降低了数值计算的工作量，减少了繁琐的数据整理步骤，增加了对数据解释的开放性，鼓励学生创造性地思考并解答问题.本题结合数学模型，将考查重点放在运用概率统计思想方法分析和解释数据之上，更好地实现了考查目的，对于中学概率统计知识的教学具有良好的导向作用.对于数学建模能力的考查，不宜形成定式，而应从不同视角灵活考查学生建立模型、分析模型、求解模型等能力.

数学建模的关键在于把现实问题转化成数学问题.在中学概率统计知识的教学过程中，可通过适当拓宽教学内容，加强对实际问题的探究等方式，将概率统计与数学模型有机结合.在教学中融入数学建模的内容，能够体现新课标理念，有助于帮助学生掌握理论知识，培养用概率统计思想方法解决实际问题的能力和意识，有助于培养适合现代社会发展的综合型、应用型人才[10].

高考立足于培育学生支撑终身发展和适应时代要求的能力.概率统计类题目作为数学科与生产生活实际联系的主要渠道，应体现数学模型化、生活化、综合化等特点，强调以数学素养立意.今后应进一步创新试题选材与设计方式，打破机械刷题的套路和常规，强调理论联系实际，重视基本概念与主干知识的考查，与数学建模有机结合；还应体现出数学学科内部知识内容的有机融合、以及数学和其他学科的紧密联系.通过这些变化主动引导教学，让学生切实体会到数学的作用，培养其学数学的兴趣和用数学的能力.