另辟蹊径造坦途
——利用参数法求解解析几何题目例析*

2019-11-27 19:08
关键词:坦途化简圆心

众所周知,解析几何是高考数学中的重头戏,同时也是让广大同学感觉到难度大,很棘手的学习难点。其所涉及的知识点多、覆盖面广、综合性比较强,往往考查考生的运算能力和综合解题能力,同学们也常常因缺乏解题策略而导致解答过程繁难、运算量大。实际上,此类问题解决方法较多,针对某类的特定问题,另辟蹊径就会踏上坦途,“柳暗花明又一村”。本文就针对利用参数法这一途径对特定问题进行举例分析。

例1已知椭圆,过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆E于A,B两点,将表示为m的函数,并求的最大值。

解:(参数法)设直线l的参数方程为由l与圆x2+y2=1相切,得关于t的方程(m+tcosα)2+(tsinα)2=1有唯一解,化简得t2+2mcosα·t+m2-1=0,则Δ=0,解得

联立直线l与椭圆E,消去x,y,整理得(1+3sin2α)t2+2mcosα·t+m2-4=0。

设A,B对应的参数分别为t1,t2,则所以

例2平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率为左、右焦点分别是F1、F2,以F1为圆心,3为半径的圆与以F2为圆心,1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上。

(1)求椭圆C的方程。

②求△ABQ面积的最大值。

解:(1)略。

(2)①略。

②(参数法)因为A,B两点在椭圆E上,故可设A(4cosα,2sinα),B(4cosβ,2sinβ),则8cosβ·sinα|=4|sin(β-α)|。

由直线AB与椭圆C有公共点,知AB的中点M(2cosα+2cosβ,sinα+sinβ)在椭圆C内或椭圆C上,则(sinα+sinβ)2≤1,化简得cos(α-β)≤,所以所以S△AOB=由①知,△ABQ的面积为3S△AOB,所以△ABQ面积的最大值为

抓住参数方程和参数的特点,准确深刻理解其含义,灵活应用,就可以使此类解析几何问题得以便捷处理!

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