机器学习驱动的多Corner STA 加速方法∗

张书政 赵振宇 冯超超

（国防科技大学计算机学院 长沙 410073）

1 引言

在摩尔定律［1］的驱动下，集成电路集成度和技术节点飞速发展，十余年来集成晶体管数量从数百万发展到了数十亿［2］。这使得设计人员和计算资源无法跟上芯片复杂度快速上升的趋势，导致了芯片设计成本和周期的增加，高效的设计方法是应对这个局面的关键。机器学习如今在各个领域都有广泛的应用，其能学习数据规律建立模型从而快速推断结果［4］。将机器学习应用于物理设计中可以挖掘设计规律，且基于推断的求解可以越过EDA工具在物理设计NP 难问题上漫长的求解过程［5］，从而加速芯片设计。国内外很多学者在此方面有了成功的研究，包括布线结果预测［6～7］，时钟树综合结果预测［8］，光刻热点检测等［9～10］等。而在时序驱动的物理设计中，静态时序分析（STA）的结果决定了设计是否合格，在设计的修改和优化中会反复进行求解，本文研究基于机器学习的高效STA分析方法。

2 时序分析特性

在数字电路中，静态时序分析需要使用描述各个单元时序信息的时序库文件，它定义了单元在不同工艺、电压、温度（PVT）下从输入端口到输出端口信号的传播延时。传统方法最常用的Corner 为最佳、最快（fast，fast），最差、最慢（worst，worst）和典型（typical，normal）三种［11］，这是由于运行时间成本，往往一个设计无法跑遍所有的Corner，一些混合Corner无法详细地进行分析，只能用临界情况来进行分析，这使得设计出现了很多设计裕量，浪费设计性能和资源。高效的多Corner 分析方法可以获得性能和运行时间的共同优化。

时序库中的Corner 是在不同PVT 下进行仿真得出来的，一些Corner之间存在部分PVT相同的情况，故存在着相关性，如表1 所示，编号第2、6、9 的Corner 间只有温度不同，其必然存在很高的相关性。相关文献［12］也表明了Corner 角之间的相关性。

表1 本工作Corner具体参数（Process均为16nm，Voltage均为0.6V）

3 已知Corner 到未知Corner 的机器学习模型

为了发掘Corner时序结果之间具体的关系，可以将其建模为y=f（x），其中，x 和y 分别为一些Corner 的集合，f 为这些Corner 的相关关系，为了发掘具体关系，本文分别采用了线性和非线性两种机器学习算法，建立从1～n 个已知Corner 结果预测n+1～N 个未知Corner 结果的模型，其中n 为已知Corner数，N为总Corner数。根据实验来确定不同Corner之间的关系并选取合适的n值，实现已知Corner对剩余未知Corner的快速预测。

3.1 数据集获取

本文只研究保持时间，建立时间研究方法相同。基于已有的14 个Corner（表1），针对118 万单元规模的芯片取每个Corner 布线后时序结果的前10000 条最差时序路径，之后取并集，将得出的26985 条时序路径进行所有Corner 结果的获取，在2.27GHz主频的Intel Xeon服务器上，单Corner静态时序分析运行时间约为1h。

3.2 Corner间相关关系的确立及模型结果

3.2.1 多Corner互信息分析结果

为了显示各个Corner 时序结果之间的关联程度，采用互信息的计算方法。互信息可以量化的度量各种不同信息相关性，时序结果是连续量，其互信息公式如下［13］：

其中，p(x，y)是X 和Y 的联合概率密度函数，p(x)和p(y)分别为X 和Y 的边缘概率密度函数。之后利用公式将互信息缩放至0～1之间：

缩放后I′(X;Y)越靠近1，说明X 和Y的相关性越大。14 个Corner的互信息结果如图1 所示，浅色代表相关性高，可以看出，1～10 存在广泛的相关性，而11～14存在彼此之间的高相关。

图1 不同Corner 之间互信息热度图

3.2.2 基于嵌入式算法的Corner选择

由于本文是利用Corner 时序结果之间的相关性来通过一部分已知Corner 的时序结果来预测另一部分未知Corner 的时序结果，如何选取“已知”Corner 集合是一个比较重要的问题，下文把已知Corner 集合称为训练集，待预测的“未知”Corner 集合称之为目标集。

选取合适的训练集是典型的特征选择问题。本文采用了嵌入式的特征选择方法，即将特征选择过程与机器学习模型训练过程融合为一体，同时完成。此过程采用两种机器学习算法：基于线性关系的岭回归（Ridge）和偏非线性关系的决策树（Decision Tree）算法［14］。

实验具体流程如图2 所示，首先选取互信息累加和最高的Corner 为第一目标Corner，建立初始的13 个Corner 预测1 个目标Corner 的模型。互信息累加和最高表明该Corner 和其他Corner 关联性较高，建模容易获得理想的结果。而后进行模型的训练和Corner 选择过程，特征重要性排序最低的Corner 意味着其在在训练集中作用很小，即与目标集中的Corner 项相关性很低或者在模型中可以在被其他Corner项表示，将其加入目标集。

图2 Corner选择流程

3.2.3 模型结果及分析

基于总数据集中26985 条路径，进行5 折交叉验证［15］，以得到模型的平均表现，以平均绝对误差（MAE）作为评估指标。分别对训练集Corner 数从13 到1（目标集Corner数从1～13）进行了建模，结果如图3所示。

图3 两种机器学习算法上不同Corner数量对应的平均绝对误差

显然，岭回归的算法表现更好，在利用7 个Corner 预测余下7 个Corner 时，能达到平均2.07ps（1.76%）的误差，优于决策树算法利用13 个Corner预测1 个Corner 的2.33ps，可见应采取线性模型来发掘Corner 时序结果之间的关系。模型训练和预测的时间小于1min，远小于商业STA 工具所需的1h。

4 基于模型稳健性的约束驱动的Corner选取

4.1 模型稳健性检验

模型的稳健性由模型的精度和有效性反映，具体检验模型在不同训练集百分比下使用已知Corner 预测未知Corner 的表现，首先划分训练集和测试集，使训练集分别占比70%，60%，30%，10%，5%，1%。之后针对不同的已知Corner数量，在训练集上进行模型训练并预测未知Corner。结果以精度损失百分比作为评判，定义为：

其中X为当前训练集百分比下相应Corner的MAE，Y为在基准训练集百分比下相应Corner的MAE。

图4 模型在不同训练集百分比下在相应Corner选取策略上的表现

结果如图6 所示，显然，当训练集百分比从70%下降到1%时，其精度损失不大，具体数值不会超过0.15ps。这表明该建模方法具有很强的稳健性，具有使用极少量（1%）的训练数据进行高精度预测的能力。与相关研究［16］对比，我们可以在可接受的精度损失下，采用更少的数据进行有效的预测，具备更好的应用价值。

4.2 约束驱动的Corner选取

不同设计，以及不同阶段的STA，具有不同的误差阈值，基于模型的高稳健性，可以针对不同的情况提取少量数据进行训练而后预测，本工作模型训练后会给出Corner 的具体选择策略和对应的误差值，据此可以实现约束驱动的Corner 选择，从而很好地对未知Corner 进行预测，节省大量的时间。在本文的具体实验中，基于设计所处的布线后时序分析阶段，前期采用极少量数据进行建模，之后选取高精度的预测策略：采用9 个Corner 的数据预测未知5 个Corner 的数据，可以在小于1ps 的平均绝对误差下，获得1.56x的时间效率提升。

5 结语

随着工艺不断进步和芯片功能需求的不断上升，芯片复杂度将越来越高，由于物理设计本身的重要性和耗时性，对物理设计进行加速优化已经成为当今的热点之一。机器学习模型可以从历史数据学习设计经验，并具有快速精准推断结果的能力，可以减少设计重复率，缩短芯片物理设计周期。本文主要从STA的特点出发，利用机器学习发掘了多Corner时序结果的线性相关性，并建立部分已知Corner预测余下未知Corner的模型，其结果精度高，在大部分设计的误差接收范围内。同时基于模型的强稳健性，可以通过极少的数据进行高效准确的预测，从而达成约束驱动的Corner 选取，有效地减少多Corner下的STA 分析时间，显著加速整个设计流程。