“特殊平行四边形”的两种开放题型解法剖析

赵萌

【摘要】本文主要是从两种题型着手来研究“特殊平行四边形”的.一种是给出结论探索条件的题型，另一种是已知条件来探索结论的题型.这两种题型具有开放性，主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形等之间的判定关系，是中考常考题型，学生必须熟练掌握.

【关键词】特殊平行四边形;判定;开放题型

一、中考分析

平行四边形及特殊的平行四边形是中考的重点之一，在中考中出题的频率较高，命题形式灵活多样，难度以中档为主，热点较多.而有关特殊的平行四边形的开放探索题也成为近几年的热点、难点问题.

二、题型探讨

（一）已知结论，探索条件

例1 （河南）如图1所示，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MN，AN.

（1）求证：四边形AMDN是平行四边形;（2）填空：① 当M的值为时，四边形AMDN是矩形;② 当AM的值为时，四边形AMDN是菱形.

证 （1）∵四边形ABCD是菱形，

∴∠NDE=∠MAE.

又∵E是AD的中点，∴DE=AE，

∴△NDE≌△MAE，∴ND=MA，

∴四边形AMDN是平行四边形.

（2）①解析：如图2所示，若四边形AMDN是矩形，则在Rt△AMD中，∠DAM=60°，∴AD=2AM.

又∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=2，

∴AM=1，∴当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形.

②解析：如图3所示，若四边形AMDN是菱形，

则AM=DB.

又∵AB=AD=2，

∴AM=AB=2，

∴当AM=2时，四边形AMDN是菱形.

解法剖析 本题是给出问题的结论，分析探索使结论成立具备的条件，而满足结论的条件往往不是唯一的，这样的问题是条件开放性问题，解这类题的时候，要善于从问题的结论出发，假设结论成立，以结论为条件，逆向推导，多途寻求解法.在本例中的第二问，先画出结论要求的矩形，再将矩形看成条件，根据矩形的角为直角和已知条件，构造直角三角形，解出AM的长.同理，当AMDN为菱形时，将结论菱形转换成条件，逆向推出AM的长.

（二）已知条件，探索结论

例2 （安顺中考）如图4所示，已知点D在△ABC的边BC上，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于F.

（1）求证：AE=DF.

（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由.

解 （1）∵AE∥DF，DE∥AF，

∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE=DF.

（2）若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形.

理由：∵四边形AEDF平行四边形，∴∠EAD=∠ADF.

又∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠DAF，

∴∠DAF=∠ADF，∴AF=DF，

∴平行四边形AEDF是菱形.

解法剖析 给定问题的条件，根据条件探索相应的结论，并且符号条件的结论往往呈现多样性或者相应的结论的“存在性”需要解题过程中学生进行推断，甚至要求条件在变化中的结论，这些问题都是开放性问题，解这类问题要充分利用条件进行大胆合理的猜想，发现规律，得出结论.

变式 在例2的第（2）问中，若将“AD平分∠BAC”改为“∠BAC=90°”，则四边形AEDF形状如何呢？

解 矩形.理由：若∠BAC=90°，由（1）知四边形AEDF是平行四边形.

则四边形AEDF是矩形.

解法剖析 在變式中，当要求在变化时，结论也在变化，由菱形变为了矩形.

因此，上述的两种开放题型都必须熟练掌握四边形判定之间的关系.

【参考文献】

[1]李敏.《正方形的性质与判定》教学案例[N].发展导报，2018-09-28（21版）.

[2]穆秋莲.《平行四边形、矩形、菱形、正方形》由一般到特殊图形类比教学案例分析[N].发展导报，2018-07-31（19版）.

[3]钱根林，徐志良.“平行四边形、矩形、菱形、正方形”的复习（第一教时）[J].苏州教育学院学报，1993（2）：62-63.