函数与导数问题中的易错点分析

函数与导数是高中数学的重点与难点内容之一，是高考命题热点与难点问题，在数学基本概念、数学基本思想方法、数学运算与推理能力等方面要求较高.但是，不少同学在概念理解上出现偏差，不够清晰;不善于运用分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法解决问题;在运算求解过程中出现一些运算错误等等.本文试从这些方面总结函数与导数问题中的常见易错点，让大家理清概念，掌握方法.

易错点一：忽视函数定义域的首位意识

例1 （1）已知f（x+1x）=x2+1x2，求函数f（x）的解析式.

（2）已知f（2x+1）=lgx，求f（x）的解析式.

错因：在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题.求出解析式后要标注x的取值范围.利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围.如已知f（x）=x+1，求函数f（x）的解析式，可通过换元的方法得f（x）=x2+1，函数f（x）的定义域是[0，+∞），而不是（-∞，+∞）.

正解：（1）由于f（x+1x）=x2+1x2=（x+1x）2-2，

所以f（x）=x2-2，x≥2或x≤-2，

故f（x）的解析式是f（x）=x2-2，x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）.

（2）令2x+1=t，得x=2t-1，

代入得f（t）=lg2t-1，又x>0，所以t>1，

故f（x）的解析式是f（x）=lg2x-1，x∈（1，+∞）.

例2 已知函数f（x）=x2-m是定义在区间[-3-m，m2-m]上的奇函数，则f（0）与f（m）的大小关系是    .

错因：本题学生容易忽略函数具备奇偶性的前提是函数定义域关于原点对称，所以不清楚实数m是一个具体的确定的值.

正解：因为函数f（x）是奇函数，所以-3-m+m2-m=0，解得m=3或-1.当m=3时，函数f（x）=x-1，定义域不是[-6，6]，不合题意;当m=-1时，函数f（x）=x3在定义域[-2，2]上单调递增，又m<0，所以f（m）

例3 已知函数f（x）=x2-2x-3，则该函数的单调递增区间为    .

错因：本题容易忽视函数单调性中对定义域的要求，单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则.函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊变量x1，x2对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个变量是区间内的任意两个自变量.

正解：设t=x2-2x-3，由t≥0，

即x2-2x-3≥0，解得x≤-1或x≥3.

所以函数的定义域为（-∞，-1]∪[3，+∞）.

因为函数t=x2-2x-3图象的对称轴为x=1，所以函数t在区间（-∞，-1]上单调递减，在区间[3，+∞）上单调递增.

所以函数f（x）的单调递增区间为[3，+∞）.

纠错训练1：函数y=5-4x-x2的单调增区间是    .

答案：[-5，-2]

纠错训练2：已知y=loga（2-ax）在区间（0，1]上是减函数，则a的取值范围是    .

答案：（1，2]

易错点二：对函数值域概念理解不清

例4 已知f（x）=（1-2a）x+3a，x<1，

lnx，x≥1的值域为R，那么实数a的取值范围是    .

错因：分段函数的值域是每一段函数值域的并集，本题求出下一段函数的值域为[0，+∞），容易错误的转化为上一段函数的值域为（-∞，0），导致出错.

正解：要使函数f（x）的值域为R，

需使1-2a>0，

ln1≤1-2a+3a，所以a<12，

a≥-1，

所以-1≤a<12，即a的取值范围是[-1，12）.

例5 已知函數f（x）=（13）ax2-4x+3.

（1）若f（x）有最大值3，求a的值;

（2）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值集合.

错因：函数的最值与函数的值域是两个不同的概念，第（1）问中函数的最大值为3，则转化为指数式的最小值为-1，从而转化为二次函数的最值问题求解;第（2）问中函数的值域为（0，+∞），即函数值能取遍区间（0，+∞）内所有的值，而且只能取遍这个范围内的值.易错点的对函数值域理解不透彻，求出的是实数a的范围.

正解：（1）令g（x）=ax2-4x+3，则f（x）=（13）g（x），由于f（x）有最大值3，所以g（x）应有最小值-1，

因此必有a>0，

g（2a）=3a-4a=-1，

解得a=1，即当f（x）有最大值3时，a的值等于1.

（2）令g（x）=ax2-4x+3，由指数函数的性质知，

要使f（x）=（13）ax2-4x+3的值域为（0，+∞），

应使g（x）=ax2-4x+3的值域为R，

因此只能a=0.（因为若a≠0，则g（x）为二次函数，其值域不可能为R）.故a的值为0.

纠错训练3：设函数f（x）=m+x2，|x|≥1，

x，|x|<1

的图象过点（1，1），函数g（x）是二次函数，若函数f（g（x））的值域是[0，+∞），则函数g（x）的值域是    .

答案：因为函数f（x）=m+x2，|x|≥1，

x，|x|<1的图象过点（1，1），所以m+1=1，解得m=0，所以f（x）=x2，|x|≥1，

x，|x|<1.画出函数y=f（x）的大致图象如图所示，观察图象可知，

当纵坐标在[0，+∞）上时，横坐标在（-∞，-1]∪[0，+∞）上变化.

而f（x）的值域为[-1，+∞），f（g（x））的值域为[0，+∞），因为g（x）是二次函数，

所以g（x）的值域是[0，+∞）.

易错点三：不理解分段函数的概念及性质

例6 已知函数f（x）=（12）x，x≥4，

f（x+1），x<4，则f（1+log25）的值为    .

错因：求分段函数的函数值，没有选确定自变量的范围，不清楚代入哪一段解析式，故要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值.少数同学对于对数函数的运算不到位，导致运算错误.

正解：因为2

纠错训练4：设函数f（x）=ex-1，x<1，

x13，x≥1，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是    .

答案：当x<1时，由ex-1≤2得x≤1+ln2，所以x<1;当x≥1时，由x13≤2得x≤8，所有1≤x≤8.综上，符合题意的x的取值范围是x≤8.

纠错训练5：设函数f（x）=x，x∈（-∞，a），

x2，x∈[a，+∞）.若f（2）=4，则a的取值范围为    .

答案：因为f（2）=4，若2∈（-∞，a），则f（2）=2，矛盾，所以2∈[a，+∞），f（2）=4成立所以a≤2，则a的取值范围为（-∞，2].

反思：求某条件下自变量的值或范围，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围.

例7 已知函数f（x）=（a-2）x，x≥2，

（12）x-1，x<2是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是   .

错因：分段函数的单调性理解出现偏差，误认为在每一段上都有相同的单调性，则整个函数就具有单调性，没有考虑分段函数在端点处的函数值的大小.

正解：因为函数f（x）为R上的单调递减函数，

所以a-2<0，

2（a-2）≤（12）2-1，解得a≤138.

纠错训练6：已知f（x）=（2-a）x+1，x<1

ax，x≥1 是R上的增函数，求a的取值范围.

答案：要使得f（x）在R上是增函數，则两个函数g（x）=（2-a）x+1与h（x）=ax均为增函数，并且还要满足在x=1处，有g（1）≤f（1），即2-a>0

a>1

2-a+1≤a，解得32

所以a的取值范围是[32，2）.

易错点四：对函数的零点概念理解不清

例8 函数f（x）=x2-3x+2的零点是   .

A.（1，0） B.（2，0） C.（1，0），（2，0） D.1，2

错因：错误的原因是没有理解零点的概念，“望文生义”，认为零点就是一个点.而函数的零点是一个实数，即使f（x）=0成立的实数，也是函数y=f（x）的图象与轴交点的横坐标.

正解：由f（x）=x2-3x+2=0得，x=1和2，所以填1，2.

纠错训练7：若函数f（x）=ax+b有一个零点是2，那么函数g（x）=bx2-ax的零点是    .

答案：由题意知2a+b=0，即b=-2a.

令g（x）=bx2-ax=0，得x=0或x=ab=-12.

例9 若函数f（x）=4x-2x-a，x∈[-1，1]有零点，则实数a的取值范围是    .

错因：对函数零点的求解方法掌握不牢固，不善于运用换元、分离参数等思想方法解决问题.

正解：因为函数f（x）=4x-2x-a，x∈[-1，1]有零点，

所以方程4x-2x-a=0在[-1，1]上有解，

即方程a=4x-2x在[-1，1]上有解.

方程a=4x-2x可变形为a=（2x-12）2-14，

因为x∈[-1，1]，所以2x∈[12，2]，

所以（2x-12）2-14∈[-14，2].

所以实数a的取值范围是[-14，2].

易错点五：对函数的单调性、奇偶性、极值概念理解不清 例10 函数f（x）=ln（x-1x）的图象是    .（填序号）

（1）求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程;

（2）求经过点A（2，-2）的曲线f（x）的切线方程.

错因：“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的曲线的切线方程”是不相同的，后者A必为切点，前者未必是切点.曲线在某点处的切线，若有，则只有一条;曲线过某点的切线往往不止一条.切线与曲线的公共点不一定只有一个.

正解：（1）因为f′（x）=3x2-8x+5，所以f′（2）=1，又f（2）=-2，

所以曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-（-2）=x-2，即x-y-4=0.

（2）设切点坐标为（x0，x30-4x20+5x0-4），因为f′（x0）=3x20-8x0+5，所以切线方程为y-（-2）=（3x20-8x0+5）（x-2），

又切线过点（x0，x30-4x20+5x0-4），所以x30-4x20+5x0-2=（3x20-8x0+5）（x0-2），

整理得（x0-2）2（x0-1）=0，

解得x0=2或x0=1，

所以经过点A（2，-2）的曲线f（x）的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.

纠错训练12：已知曲线f（x）=2x3-3x，过点M（0，32）作曲线f（x）的切线，求切线方程.

答案：设切点坐标为N（x0，2x30-3x0），则切线的斜率k=f′（x0）=6x20-3，故切线方程为y=（6x20-3）x+32，又因为点N在切线上，所以2x30-3x0=（6x20-3）x0+32，

解得x0=-2，所以切线方程为y=21x+32.

易错点七：分类讨论标准不清晰

例13 若函数f（x）=mx2+mx+1的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是    .

错因：没有分类讨论的意识.

正解：由题意可得mx2+mx+1≥0恒成立.

当m=0时，1≥0恒成立;

当m≠0时，则m>0，

Δ=m2-4m≤0，

解得0

综上可得：0≤m≤4.

例14 已知函数f（x）=2a·4x-2x-1.若关于x的方程f（x）=0有解，求a的取值范围.

错因：分类讨论的标准不清晰.

正解：关于x的方程2a（2x）2-2x-1=0有解，等价于方程2am2-m-1=0（m>0）在（0，+∞）上有解.

记g（m）=2am2-m-1，m>0，

当a=0时，g（m）=0的解为m=-1<0，不成立.

当a<0时，g（m）的图象开口向下，对称轴m=14a<0，则g（m）在区间（0，+∞）上单调递减，且图象过点（0，-1），不成立.

当a>0时，g（m）的图象开口向上，对称轴m=14a>0，则g（m）在区间（0，14a]上单调递减，在区间[14a，+∞）上单调递增，且图象过点（0，-1），必有一个根为正，

所以，a>0.

综上所述，a的取值范围是（0，+∞）.

纠错训练13：已知函数f（x）=（a-1）lnx+ax2+1，讨论函数f（x）的单调性.

答案：f（x）的定义域为（0，+∞），

f′（x）=a-1x+2ax=2ax2+a-1x.

（1）當a≥1时，f′（x）>0，故f（x）在区间（0，+∞）上单调递增;

（2）当a≤0时，f′（x）<0，故f（x）在区间（0，+∞）上单调递减;

（3）当00，故f（x）在区间（0，1-a2a）上单调递减，在区间（1-a2a，+∞）上单调递增.

易错点八：没有数形结合的意识

例15 （1）已知实数a，b满足等式（12）a=（13）b，下列五个关系式：①0

其中不可能成立的关系式有    个.

（2）若曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点，则b的取值范围为    .

错因：仅仅着眼于代数式的结构特征，不善于构造函数，利用函数图象解决问题，没有数形结合的意识.

正解：（1）函数y1=（12）x与y2=（13）x的图象如图所示.

由（12）a=（13）b得，a

故①②⑤可能成立，③④不可能成立.

（2）曲线y=|2x-1|与直线y=b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点，则b的取值范围是（0，1）.

纠错训练14：已知f（x）=|lgx|，x>0，

2|x|，x≤0，则关于x的方程2f2（x）-3f（x）+1=0的解的个数为    .

解答：关于f（x）的方程

2f2（x）-3f（x）+1=0的解为f（x）=12或f（x）=1.作出y=f（x）的图象，由图象知直线y=12与函数y=f（x）的图象有2个公共点;直线y=1与函数y=f（x）的图象有3个公共点.故关于x的方程2f2（x）-3f（x）+1=0有5个解.

（作者：王小青，江苏省如皋中学）