关于含绝对值函数的双重最值问题的研究

童益民

(宁波效实中学 315012)

含绝对值的函数是高考中的一个考点，含绝对值函数的最大值问题是近年高考的热点，而含绝对值函数的最大值的最小值问题更是高考中的一个难点，如2015年浙江高考理科第18题，2016年天津高考理科第20题.本文通过对含绝对值的二次、三次函数的思考研究，得到一般的几个结论，以供读者参考.

思考1已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)的定义域为[α,β]，记|f(x)|的最大值为M，研究当f(x)满足什么条件时，M取到最小值？

分析：因为

接下来进行类比.

思考2已知函数f(x)=x3+bx+c(b,c∈R)的定义域为[α,β](α<0<β)，其中α+β=0，记|f(x)|的最大值为M，研究当f(x)满足什么条件时，M取到最小值？

分析：(1)当b≥0时，f(x)在[α,β]上单调递增，显然当-f(α)=f(β)，即c=0 时，|f(x)|的最大值M取到最小值β3+bβ.

(2)当b<0时，

①若c=0，

f(β)=β3+bβ，

画出关于t的函数g(t)=2t3，h(t)=|β3-3βt2|的图像，如图1，

图1

当t=t0时，|f(x)|的最大值M的最小值为

②若c>0，

f(β)=β3+bβ+c，

画出关于t的函数g(t)=2t3+c，h(t)=|β3-3βt2+c|的图像，如图2，

图2

当t=t0时，|f(x)|的最大值M的最小值为

③若c<0，

f(α)=α3+bα+c，

|f(α)|=|α3-3αt2+c|=|β3-3βt2-c|，

画出关于t的函数g(t)=2t3-c，h(t)=|β3-3βt2-c|的图像，如图3，

图3

当t=t0时，|f(x)|的最大值M的最小值为

舍去.由①②③得，

|f(x)|的最大值M取到最小值β3+bβ.

综上(1)(2)得，

再进一步推广.

思考3已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R)的定义域为[α,β]，记|f(x)|的最大值为M，研究当f(x)满足什么条件时，M取到最小值？

f(x)=x3+ax2+bx+c

根据结论2，可得，

|u(t)|的最大值M取到最小值，

|f(x)| 的最大值M取到最小值.

函数记为f0(x)=x3+a0x2+b0x+c0，

|f(x)|的最大值M取到最小值M0.

任取a=a1≠a0，b=b1，c=c1，

令f1(x)=x3+a1x2+b1x+c1，

则f1(x)=x3+a0x2+b0x+c0+(a1-a0)x2+(b1-b0)x+(c1-c0)

=f0(x)+(a1-a0)x2+(b1-b0)x+(c1-c0)，

图4

令g(x)=(a1-a0)x2+(b1-b0)x+(c1-c0)，

所以f1(x)=f0(x)+g(x)，

因为函数f0(x)的图像如图4，

要使得函数|f1(x)|的最大值小于等于M0，

因为二次函数g(x)的二次项系数a1-a0≠0，显然是不成立的，

所以函数|f1(x)|的最大值大于M0，

|f(x)|的最大值M的最小值都大于M0.

综上(1)(2)得，

|f(x)|的最大值M取到最小值.

对于以上得到的三个结论，可以帮助我们在解此类题目时有一个整体的认识，可以灵活应用，同时也为用绝对值不等式解此类题时，取什么特殊值提供了方向，就是考虑区间的端点和极值点. 以下两题仅供参考.

题1已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)的定义域为[0,2]，记|f(x)|的最大值为M，求M的最小值.

解析：当f(0)=f(2)时，f(x)的极值点为x=1，可考虑取x=0,2,1.

所以4M≥|f(0)|+|f(2)|+2|f(1)|

≥|f(0)+f(2)-2f(1)|

=|c+4+2b+c-2-2b-2c|=2，

题2设函数f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R.其中a,b∈R.

解析：设x-1=t∈[-1,1]，

则h(t)=t3-at-a-b，根据结论2，

|h(t)|的最大值取到最小值.

由-h(-1)=h(1)，得-a-b=0，