全国名校导数测试卷（A 卷）

■河南省汝阳县第一高级中学

一、选择题

1.函数y=f(x)的图像如图1 所示,下列数值排序正确的是( )。

图1

A.f'(1)＜f'(2)＜f(2)-f(1)

B.f'(1)＜f(2)-f(1)＜f'(2)

C.f'(2)＜f(2)-f(1)＜f'(1)

D.f'(2)＜f'(1)＜f(2)-f(1)

2.曲线y=cosx+ex在x=0处的切线方程是( )。

A.x+y+2=0

B.x-y+2=0

C.x-2y+1=0

D.2x-y+1=0

4.设函数f(x)=alnx+bx2,若函数f(x)的图像在点(1,1)处的切线与y轴垂直,则实数a+b=( )。

5.对于函数y=ex,曲线y=ex在与坐标轴交点处的切线方程为y=x+1,由于曲线y=ex在切线y=x+1的上方,故有不等式ex≥x+1。类比上述推理：对于函数y=lnx(x＞0),有不等式( )。

A.lnx≤x-1(x＞0)

B.lnx≥x+1(x＞0)

C.lnx≥x-1(x＞0)

D.lnx≤1-x(x＞0)

6.若函数y=f(x)的图像上存在不同的两点,使得函数y=f(x)的图像在这两点处的切线互相平行,则称函数y=f(x)具有“同质点”。给出下列四个函数：①y=sinx;②y=ex;③y=x3;④y=lnx。其中具有“同质点”的函数有( )。

A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

A.(1,+∞) B.[1,+∞)

C.(1,2) D.[1,2]

9.已知实数a,b满足a2-3lna-b=0,c∈R,则(a-c)2+(b+c)2的最小值为( )。

10.已 知f(x)= (lnx)2-,恰有3个不同零点,则a的值为( )。

12.已知曲线f(x)=2lnx+ax2+bx在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-3,则函数f(x)的零点所在的大致区间为( )。

13.关于x的方程kx=sinx(k∈(0,1))在(-3π,3π)内有且仅有5个根,设最大的根是α,则α与tanα的大小关系是( )。

A.α＞tanαB.α＜tanα

C.α=tanαD.以上都不对

14.若f(x)+3f(-x)=x3+2x+1对x∈R 恒成立,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为( )。

A.5x+2y-5=0

B.10x+4y-5=0

C.5x+4y=0

D.20x-4y-15=0

15.过点P(2,-6)作曲线f(x)=x3-3x的切线,则切线方程为( )。

A.3x+y=0或24x-y-54=0

B.3x-y=0或24x-y-54=0

C.3x+y=0或24x-y+54=0

D.24x-y-54=0

A.(e2,+∞) B.(1,+∞)

C.(1,e2) D.(0,1)

18.已知函数f(x)=ex+x2+lnx与函数g(x)=e-x+2x2-ax的图像上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围为( )。

19.已知函数f(x) =若函数g(x)=f(x)-ax+a存在零点,则实数a的取值范围为( )。

20.设函数y=ax2与函数y=的图像恰有3个不同的交点,则实数a的取值范围为( )。

21.设点P,Q分别是曲线y=xe-x(e是自然对数的底数)和直线y=x+3 上的动点,则P,Q两点间距离的最小值为( )。

22.已知y=f(x)(x∈R)存在导函数,若f(x)既是周期函数又是奇函数,则其导函数( )。

A.既是周期函数又是奇函数

B.既是周期函数又是偶函数

C.不是周期函数但是奇函数

D.不是周期函数但是偶函数

23.设点P在曲线y=lnx上,点Q在曲线上,点R在直线y=x上,则|PR|+|RQ|的最小值为( )。

24.已知函数f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在极大值又存在极小值,则实数m的取值范围是( )。

A.(-1,2)

B.(-∞,-3)∪(6,+∞)

C.(-3,6)

D.(-∞,-1)∪(2,+∞)

25.如图2,可导函数y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为y=g(x),设h(x)=g(x)-f(x),h'(x)为h(x)的导函数,则下列结论中正确的是( )。

图2

A.h'(x0)=0,x0是h(x)的极大值点

B.h'(x0)=0,x0是h(x)的极小值点

C.h'(x0)≠0,x0不是h(x)的极值点

D.h'(x0)≠0,x0是h(x)是的极值点

26.下列函数中,既是奇函数又存在极值的是( )。

27.设f(x),g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,且f'(x),g'(x)分别是f(x),g(x)的导数,当x＜0时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)＞0 且g(6)=0,则不等式f(x)g(x)＜0的解集是( )。

A.(-6,0)∪(6,+∞)

B.(-6,0)∪(0,6)

C.(-∞,-6)∪(0,6)

D.(-∞,-6)∪(6,+∞)

28.设定义在R 上的函数f x（）的导函数为f'(x),若f(x)+f'(x)＞2,f(0)=2 020,则不等式exf(x)＞2ex+2 018(其中e为自然对数的底数)的解集为( )。

A.(0,+∞)

B.(2 018,+∞)

C.(2 020,+∞)

D.(-∞,0)∪(2 018,+∞)

30.设a=sin 1,b=2sin,c=3sin则( )。

A.a＜b＜cB.a＜c＜b

C.c＜a＜bD.c＜b＜a

31.已知函数f(x)=ex(x-aex)恰好有两个极值点,则a的取值范围是( )。

32.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0＞0,则实数a的取值范围是( )。

A.(1,+∞) B.(2,+∞)

C.(-∞,-1) D.(-∞,-2)

33.已知f(x)=x+1,g(x)=lnx,若f(x1)=g(x2),则x2-x1的最小值为( )。

A.1 B.2

C.2-ln 2 D.2+ln 2

34.已知函数f(x)=x2·e-x,g(x)=,若∀x1∈(0,+∞),∃x2∈[1,3],使f(x1)=g(x2)成立,则c的取值范围是( )。

35.已知,若存在α∈M,β∈N,使|α-β|＜n,则称函数f(x)与g(x)互为“n度零点函数”。若f(x)=32-x-1与g(x)=x2-aex互为“1度零点函数”,则实数a的取值范围为( )。

二、填空题

37.图3是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图像,给出下列命题：

图3

①-3 是函数y=f(x)的极值点;

②-1是函数y=f(x)的最小值点;

③y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零;

④y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增。

则正确命题的序号是____。

38.函数f(x)=-x2+ax-lnx(a∈R)。则“函数f(x)既有极大值又有极小值”的充要条件为_____。

39.若函数f(x)=(lnx-ax)lnx-x2存在三个不同零点,则实数a的取值范围是____。

40.已知函数y=ex上任意一点P(x0,),在P点处的切线l1交x轴于点A,l2过点P且l1⊥l2,l2与x轴交于点B,则线段AB的长度的取值范围为____。

42.设函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数,其导函数为f'(x),且有3f(x)+xf'(x)＞0,则不等式(x+2 019)3f(x+2 019)+27f(-3)＞0的解集是____。

46.函数f(x)=(x2-x-1)ex(其中e=2.718…是自然对数的底数)的极值点是____;极大值=____。

47.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”。若f(x)=xlnx与在[1,3]上是“关联函数”,则实数m的取值范围是_____。

48.要设计一个容积为π 的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐,已知圆柱侧面的单位面积造价是下底面积的单位面积造价的一半,而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积造价的一半,储油罐的下部圆柱的底面半径R=_____时,造价最低。

49.将一边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖的方盒,当x等于____时,方盒的容积最大。

51.函数f(x)的定义域和值域均为(0,+∞),f(x)的导数为f'(x),且2f(x)＜f'(x)＜3f(x),则的范围是____。

52.已知函数f(x)=3x3-2x+ex-其中e 是自然对数的底数,若f(a)+f(a2-2)＜0,则实数a的取值范围是____。

53.若函数f(x)=kx-ex有零点,则k的取值范围为____。

54.已知函数f(x)=ex-ax有两个零点x1,x2,则下列判断：①a＜e;②x1+x2＜2;③x1·x2＞1;④有极小值点x0,且x1+x2＜2x0。则正确判断的个数是____。

55.形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数,其图像对称中心为M(x0,f(x0)),记函数f(x)的导函数为f'(x),f'(x)的导函数为f″(x),则有f″(x0)=0。若函数f(x)=x3-3x2+1,则

三、解答题

57.已知a＞0,函数f(x)=xlnxax+1+a(x-1)2,g(x)=

(1)求g(x)的单调区间;

(2)讨论f(x)零点的个数。

58.已知f(x)=ax-1-xlnx(a∈R)。

(1)若f(x)≤0恒成立,求a的取值范围;

(2)证明：当x＞1时

(1)求f(x)的单调区间;

(1)试比较2 0182019与2 0192018的大小,并说明理由;

(2)若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点x1,x2,证明：x1·x2＞e2。

61.已知函数f(x)=ln(x+1)。

(1)设y=g(x)是函数f(x)在(0,0)处的切线,证明：f(x)≤g(x);

62.已知函数f(x)=e1-x(-a+cosx),a∈R 。

(1)若函数f(x)在[0,π]内存在单调递增区间,求实数a的取值范围;

63.已知函数f(x)=x2(6lnx-4x+6a-3)有两个极值点。

(1)求a的取值范围;

(2)设x1,x2(x1＜x2)是f(x)的两个极值点,证明