起重机主梁拓扑优化设计研究

李帅远 王然然 周 鹏

(郑州大学机械工程学院，河南450001)

箱型主梁结构的好坏直接影响起重设备的承载能力，所以对箱形主梁进行合理的结构优化对起重机承载能力有重要影响[1]。起重设备在运输过程中，主梁受动载荷的影响会产生不同频率的振动，这些振动将严重影响起重机的使用特性，会对起重设备的一些部件造成破坏，影响使用寿命。因此，通过分析和实验研究起重机设备的振动规律和影响，优化起重机的箱形主梁结构尤为重要[2]。

使用MATLAB软件对起重机主梁进行结构设计，之后采用SIMP变密度法合理分布主梁材料，进行静态和动态特性的起重机主梁拓扑优化研究。

1 箱型梁结构模型建立

1.1 起重机主要参数

以起重机的起重量Q=30 t，起重机主梁材料Q345为研究对象，根据起重机的工作情况，当小车运行到跨中截面时，起重机主梁处于最危险状态，主梁垂直平面受力图如图1所示。因此主要研究主梁的跨中截面，该位置垂直方向承受载荷为小车静轮压P1=112 856.8 Nm，P2=2566 Nm，均为均布载荷。跨中截面尺寸为：

上盖板厚度t5=0.016 m

下盖板厚度t6=0.016 m

上盖板宽度B1=0.58 m

下盖板宽度B2=0.58 m

主腹板厚度t3=0.006 m

副腹板厚度t4=0.006 m

腹板高度H=1.3 m

腹板间隔距离B=0.49 m

图1 主梁垂直平面内受力分析图Figure 1 Force analysis on vertical surface of girder

1.2 主梁拓扑优化分析流程

结构拓扑优化一般是在给定结构类型和边界条件下进行迭代求解，在满足目标函数要求的前提下，得到最佳结构设计材料布局。在拓扑优化中，采用了有限单元法，在进行迭代时，每一次的迭代都会重新进行组装，有新的单元矩阵。拓扑优化处理流程如图2所示。

1.3 主梁拓扑优化的材料插值模型

SIMP密度-刚度插值模型是拓扑优化中经常采用的材料插值模型，该模型中惩罚因子的作用是对中间密度进行惩罚，在优化中使材料密度趋于离散的0～1(0密度表示材料消除，1密度表示原材料密度)。但是惩罚因子在低密度区域存在局部模态现象，这种模型在低密度区域存在缺陷[3]。为了弥补低密度区域的缺陷，在研究中修改低密度区域质量与刚度的比例(该比例用较小常数值代替)，修改前后主梁单元密度与材料弹性模量和材料密度关系为：

ρ(xi)=xminρ0

E(xi)=xminE0

修改后的材料插值模型为：

ρ(xi)=xiρ0

0

式中，E0为材料初始弹性模量；xi为离散后第i个单元的密度；p为惩罚因子。

图2 起重机主梁拓扑优化流程图Figure 2 Topology optimization flow of crane girder

图3 SIMP模型下不同惩罚因子对弹性模量的惩罚效果
Figure 3 Penalty effects of different penalty factors on elasticity modulus in SIMP model

图4 修改SIMP模型下不同惩罚因子的惩罚效果Figure 4 Penalty results of different penalty factors in modified SIMP model

拓扑优化问题转化为结构中材料最优分布问题。主梁材料密度是0～1之间的连续变量值，在优化中会出现不符合实际情况的密度为中间值的区域，这种区域结构上称为灰度单元。因此需要借助惩罚因子，使中间密度单元向0～1两端靠近。图3为SIMP材料插值模型下不同惩罚因子对弹性模量的惩罚效果，图4为修改SIMP模型下xmin=0.01时，不同惩罚因子单元密度与弹性模量的关系，修改后的材料插值模型可直接用于后续的动力学拓扑优化[5]。

1.4 拓扑优化模型的建立

max:λmin={min :(λ1,λ2,…,λNdof)}

1.5 拓扑优化模型的灵敏度

灵敏度分析是研究分析模型状态的变化对设计变量的敏感程度。目标函数相对于设计变量的灵敏度计算公式为：

对上式进行移项得：

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则正则化因子μj为：

经计算，设计变量的灵敏度可表示为：

1.6 优化准则求解方法

研究中，采用优化准则法对起重机箱型主梁进行拓扑优化求解。优化准则法(OC)使用Lagrange乘子的引入构造Lagrange函数，这种方法可以进行约束非线性优化问题与无约束优化问题转变，同时具有迭代次数少，收敛速度快的优势，比较适合在大中型设备结构优化中使用。

(a)p=3(b)p=5(c)p=10

图5 不同惩罚因子的基频在迭代过程中的变化情况
Figure 5 Basic frequency variables of different penalty factors during iteration

表1 不同惩罚因子下基频变化值Table 1 Basic frequency variables of different penalty factors

表2 不同过滤半径下基频的值Table 2 Basic frequencies of different filtration radiuses

表3 主梁基频和重量的变化情况Table 3 Variables of girder basic frequency and weight

2 起重机主梁拓扑优化

2.1 惩罚因子的影响

按照216×13×5将主梁模型划分网格后，在MATLAB中求解模型拓扑结构。根据主梁受力简图得知，当小车位于跨中时，整个截面最危险，惩罚因子不可取得过大，也不可取得过小，过大的惩罚因子会使趋近于1的单元也趋向于0，过小则起不到惩罚的效果，惩罚因子的选择将影响优化后的结构。表1为不同惩罚因子作用下起重机基频的变化情况[7]。惩罚因子为1时，没有惩罚效果，以惩罚因子为1腹板材料布局为参考，分析不同惩罚因子作用效果，得到不同惩罚因子的基频在迭代过程中的变化情况，见图5。

通过图5可以看出，在开始阶段基频会随着迭代次数的增加而增大，之后会趋于收敛。根据表1中不同惩罚因子作用下的基频情况可以得知，当惩罚因子超过一定值时，如果惩罚因子变大，优化一阶振动频率会变小。

2.2 过滤半径的影响

根据过滤函数对优化结果的影响，选择灵敏度过滤法处理起重机主梁动力学特性拓扑优化中的数值不稳定现象。在灵敏度过滤方法的应用中，讨论不同过滤半径对拓扑优化结果的影响。

选择合适的过滤半径对拓扑优化结果有重要的影响，如果选择的过滤半径较小，会使主梁的结构特征不清楚，影响对会面的分析；如果选择的过滤半径比较大，会使主梁的一些结构特征不能显现。

表2列出了不同过滤半径下起重机的主梁优化前后的基频情况。根据桥式起重机在设计手册中的要求，需要满足主梁的振动基频大于1 Hz。从表2中可以看出，优化后更满足桥式起重机的设计要求。从各方面比较，一般选择1.4 mm～1.6 mm的过滤半径比较适合。

2.3 优化结果

根据不同的惩罚因子下起重机基频的变化情况和不同的过滤半径下基频的变化情况，经过各方面考虑，选择惩罚因子p=3，过滤半径r=1.5 mm的优化结果与优化之前的起重机主梁的重量和基频进行对比分析，见表3。

通过优化前后情况对比可知，对起重机主梁优化后，优化结构的基频有所提高，主梁结构的总重量下降了约13.32%。

3 结论

(1)在SIMP密度-刚度插值模型研究的基础上，采用变密度法弥补惩罚因子在低密度区域的局部模态现象，对起重机主梁进行力学拓扑优化，这种方法是对起重机优化研究的进步。

(2)从不同惩罚因子下基频在迭代过程中的变化情况可以看出，在开始阶段基频会随着迭代次数的增加而增大，之后会趋于收敛。

(3)在对起重机主梁进行拓扑优化的过程中，合理地选择过滤半径对研究具有重要影响，考虑各方面因素。过滤半径一般选择1.4 mm～1.6 mm比较适合。

(4)拓扑优化可以解决有限元拓扑优化的中局部优化不稳定现象，得到约束条件下主梁材料最优分布结果。使起重机主梁轻量化，同时提高基频，满足《起重机设计手册》主梁基频要求。