关于三角函数诱导公式教学的研究与实践

郭宝国

【摘要】诱导公式是三角函数中的重要内容之一.由于教材的不同，教法的编排也有所不同，这就导致教师在备课及教学过程中产生不少困惑.本文结合实际教学经验，从教材、教法两方面对诱导公式的教学进行了比较，提出了一些个人的观点和建议.

【关键词】三角函数;诱导公式;教材;教学方法

诱导公式是中等职业学校广教版数学必修下册第六章“三角函数”或人教版数学（提高版）第一册第七章“三角”中的内容.诱导公式是三角函数变换中最重要、最基本的公式，在求某些特殊角三角函数值、化简和证明恒等式中起到至关重要的作用.

但是三角函数诱导公式烦多，形式相似，而且有些要添加负号，有些要改变函数名称，对于职业中学的学生来说，要记住这些公式是一件极其困难的事情，更谈不上应用.因此，学生在应用公式解题时，常觉得模棱两可，似是而非，甚至无从下手.笔者用过上述两套教材，其内容的安排和教法都有所不同.下面通过对教材内容、教法进行比较，谈谈本人对诱导公式实际教学方法的一些见解.

一、教材内容、教法的比较

1.教材内容分析.人教版诱导公式分为四大组，分别是α与α+k·2π（k∈ Z），α与-α，α与α+（2k+1）π（k∈ Z），α与 π[]2 ±α的三角函数的关系，这与广教版的基本相同，但是人教版的诱导公式略为精简，公式以方框出现的有5组，而广教版的有8组.人教版诱导公式最后一大组中，还补充了正切、余切函数的公式，而广教版的没有.这说明人教版的教材内容较全面，公式更精简，难度更大更深一些，适合中上等层次的学生学习，广教版的则恰相反.但是，在职业中学的实际教学中，同一个年级，不论各班的基础好坏，统一用同一种教材.对于人教版教材，数学教师在备课时常常需要为基础差的班级调整教学进度，降低内容难度，删减练习，而学生还是会无所适从，觉得比较混亂，学习效果可想而知.

2.教材教法分析.在人教版中，利用诱导公式求某些特殊角的三角函数的准确值和化简时，几种方法混合在一起使用，显得比较杂乱.这些方法主要有：①直接利用公式求解;②先把负角化正角，再利用公式求解;③先把绝对值大的角分解成α+nπ（n∈ Z）的形式，再利用公式求解.这些方法都采用了从左至右利用公式求解的传统解法.下面分别列举人教版课本上出现的求三角函数值的例子说明（弧度制角）.

这两种解题方法同时出现，而且没有给出相应的提示.学生的基础本来就差，在这时往往就会混淆公式，不懂得该用哪种方法解类似的题目.

而在广教版的教材中，关于诱导公式的应用则采用了统一的一种方法，就是从右至左利用公式先把角的绝对值化小，再按照 “正弦余弦，±π变号，±2π不变;正切，±π都不变”的规律来解题.还是以上面人教版的前三个例题为例说明具体的解题过程有何不同.

与人教版的多种解题方法比较起来，这种解题方法的优点是：（1）操作简便统一.不管所给角的正负与大小，只需按“正角减去π的倍数，负角加上π的倍数”的规律，变号与否根据函数名称即可.（2）减少了对诱导公式的记忆.计算过程中只是有时用了α与-α这组公式，不必硬套课本公式.

通过以上对两种教材的比较，会发现在内容编排方面，人教版的内容较全面，难度更深，比较适合基础较好的班级学习，而广教版的比较适合其他类班级（如数控班）学习.从教法上来说，人教版的相对落后，变化多样，晦涩不清;广教版的简便易用，条理清晰，更具可操作性，更符合职业中学学生的学习特点.

二、对实际教学方法的探索

对于这两种教材中的诱导公式的教学方法，不同的任课老师有不同的选择.笔者认为，不管用的是哪套教材，若都选择广教版的教法，学生会更容易掌握.本人首次使用人教版教材时，当所有的公式讲完了，发现不但自己教得累，学生也掌握不牢.虽然总结了公式的规律，编了口诀，每节课都在复习公式，但在解题时，学生还是前学后忘，连成绩较好的学生也大呼公式太多，不易记牢，不能熟练应用.

当我使用广教版的教法讲完诱导公式这节课时，就发现教学效果明显要比以前好很多.不过，本人在教学过程中也遇到不少困惑，在经过不断反思后，教学思路变得逐渐清晰，现将个人的教法小结如下.

1.掌握旋转角的特点——角α按逆时针或顺时针旋转n圈后得到的角的终边相同.这个知识点为后面学习第一组诱导公式做了铺垫，即终边相同的角的同一三角函数值相等.这组公式可用一句话说明：一个角加上或减去360°（2π）的整数倍，三角函数值不变.教师利用公式讲解例题几次，学生就能轻松掌握了.后面在推导α±π这组公式时，可引导学生思考：角α旋转n圈都不会改变函数值，那么如果旋转半圈180°（π），角α的四个三角函数值是否改变符号呢？

2.重点掌握α与-α，α与 π[]2 ±α这两大组诱导公式.前一组公式在函数求值与式子化简中经常用到，所以特别重要.而后一组互余公式，一般只用于式子化简，有涉及计算的都可以用α±π这组公式来代替.

例7 计算tan 135°的值.

但由于公式要互相改变函数名称，还要根据象限来判断函数值的符号，相对复杂，比较难掌握，所以要下功夫记住.当然，学习这两组公式时也不必逐一死记硬背，可以寻找规律来帮助记忆，下面说明其方法.

综上所述，学生只要掌握了α与-α，α与 π[]2 ±α这两大组诱导公式后，理解其余诱导公式的规律，在解题过程中就可免去记忆公式之苦，也不必将所有的角先判断所在的象限再确定函数值的符号，减少了计算环节，降低了难度及出错率，从而在一定限度上可以提高中职数学教学质量.