压缩感知理论在稀疏阵列方向图综合中的应用研究

王停 张永斌 王凡 杨雪林

摘要 阵列天线方向图综合技术在智能天线设计中具有重要作用，其中均匀阵列的方向图综合问题一直是智能天线领域的研究热点。为解决等间隔均匀阵列需要大量的阵元才能满足方向图指标要求的问题，基于压缩感知理论与低秩矩阵恢复技术分别提出了稀疏阵列方向图综合的方法，该方法主要包括稀疏阵列设计、稀疏阵列恢复与阵列方向图综合等过程。仿真结果表明，利用少量稀疏阵元来实现所期望的低增益、强方向性的方向图效果，有利于设备的小型化和经济性。

关 键 词 方向图综合;压缩感知;低秩恢复;稀疏阵列

中图分类号 TN821.91     文献标志码 A

Abstract Antenna array pattern synthesis technology plays a vital role in the field of smart antenna， and it is well known that the pattern synthesis of homogeneous array is the main topic of pattern synthesis technology. But this technology need plenty of homogeneous array elements to meet the antenna requirements. So a novel pattern synthesis technology for sparse array based on the compressed sensing （CS） method and low-rank matrix recovery （LRMR） method is proposed. The technology includes the design of sparse array， the recovery of homogeneous array and the synthesis of antenna array pattern， etc. The simulation result shows that an antenna array with low-gain and strong-directivity can be built by using a small amount of sparse array elements and it is available for the miniaturization and economical efficiency of the antenna system.

Key words pattern synthesis; compressed sensing; low-rank matrix recovery; sparse array

0 引言

在无线通信系统中，天线经常用来高效地发射与接收电磁波，可以在不同地点间进行信息传输而不借助任何中间设备。方向图综合技术在传统天线领域与智能天线领域都发挥着必不可少的作用。阵列天线方向图综合是利用各种优化算法改变天线特性并以此来满足天线系统方向图的各种指标的技术。在均匀线阵方向图综合问题的研究中，人们首先成功研究了各种均匀线阵的低旁瓣和深零陷方向图综合算法，随后又提出了基于自适应原理的阵列方向图综合技术[1-5]。但是，以上基于等间隔均匀阵列的综合均需要大量的阵元才能满足方向图的指标要求，这显然提高了天线设备的复杂性与成本。

在天线阵列的设计中，利用将天线的阵元在阵列当中进行稀疏分布[6]的方法来构造一个低增益且强方向性的天线阵列，以较少单元数满足设计指标，并以此大幅降低生产成本。根据压缩感知[7-8]与低秩恢复理论[9-11]，将稀疏阵列恢复成均匀阵列，然后再进行方向图综合，这样可以用较少的稀疏阵元，达到实现均匀阵元方向图综合的效果，这对设备的小型化和经济性都有很好的作用。

基于这一思想，本文提出一种稀疏阵列技术，其中对于直线阵采用压缩感知方法，对于矩形阵采用低秩矩阵恢复技术。使用PSO算法得到二维方向图，使用Chebyshev方法[12]得到三维方向图。

1 方法原理

將压缩感知与低秩恢复技术应用于稀疏阵列方向图综合中。Orthogonal Matching Pursuit（OMP）算法是一种经典的压缩感知重构算法。在OMP算法中，在每次迭代过程中都会将被选定的原子进行正交化处理，然后将采样值投影到由这些正交原子组成的空间，并得到信号在这些正交原子上的分量与残差，之后再用同样的方法分解残差，如此迭代会使残差随着分解的过程迅速减小，从而可以降低迭代次数。

根据多匹配原则提出一种改进的压缩感知重构算法——Orthogonal Multi-Matching Pursuit （OMMP）算法。OMMP算法的本质为通过当前最好的一组线性无关组与上次的候选集取交集来选择原子。设[Λ]是通过测量矩阵[Φ]中的列向量来构成的索引集，则[Λk]就是通过k次迭代后选择的原子构成的索引集。在每次迭代过程中，OMMP算法都会经过两个阶段的计算得到新原子，与OMP算法相比，OMMP算法中当前残差与剩余原子的相关性是通过在第一阶段计算当前残差与剩余原子的内积来得到的。

步骤6    将先前已设置好的误差参数与[rk22]进行比较，或计算索引集原子数目是否已达到要求值。若不满足停止条件，计算[n=n+1]，然后返回步骤2执行。

OMMP算法的迭代在[Λk]中的原子数达到了一个固定值时停止。实验表明，为了使算法具有较好的重建效果，应该在[Λk]中原子数量设置为测量矩阵列数的一半时停止迭代。

通过以上的基本步骤可见，OMMP算法与OMP算法的核心区别在于OMP算法每次都选择一个内积较大的原子，而OMMP算法则是选取一个在两次连续迭代中相关性都较大的一个原子，所以在原子的选择方面，OMMP算法比OMP算法的鲁棒性更高并加快了原子的选择速度。

在方向图综合问题中，压缩感知技术适用于一维线阵情况，若将问题扩展到二维矩形阵列中，低秩恢复技术的优势便显现出来。将问题从一维扩展到二维，利用低秩恢复技术把稀疏矩阵恢复成均匀矩阵，用更少的稀疏阵元达到均匀阵元方向图综合的效果，这会对设备的简易性与经济性有很好的效果。

Wright等[9]最早提出的低秩矩阵恢复，是指在原始矩阵是低秩的或近似低秩的前提下，在某些元素被严重损坏的矩阵中自动识别出被损坏的元素并对原始矩阵进行恢复，因此低秩矩阵恢复又被称为低秩稀疏矩阵分解（Low Rank and Sparse Matrix Decomposition，LRSMD） 或鲁棒主成分分析（Robust Principal Component Analysis，RPCA）。

假设矩阵D由一个低秩矩阵A和一个噪声矩阵E组成，其中E是稀疏矩阵，换句话说，矩阵E中的非零元素较少，此时就可以利用低秩恢复技术来求解问题，因此可以用如下优化问题来描述低秩矩阵恢复：

式中：[E0]是稀疏矩阵的[l0]范数，表示矩阵中非零元素的个数。式（8）是一个计算量非常大的NP难问题，因此需要寻找到合适的方法来近似求解这一最优化问题，Candes[10]已经从理论上证明了通过[l1]范数（矩阵中元素绝对值的和）最小化求解得到的解与[l0]范数最小化的解非常接近，因此可以将[l0]范数最小化问题松弛为[l1]范数最小化问题。式（8）中的[rank]函数是非凸的不连续函数，其值为奇异值的[l0]范数，而奇异值的[l1]范数就是核范数，因此可以根据上述理论将矩阵的[rank]函数近似为核范数，如式（9）：

式中：[A*]是矩阵的核范数，且满足[A*=k-1nδkA];[δkA]为矩阵的第k个奇异值;[λ]是权重参数，通常可设定为[λ=1max（m，n）]。

式（9）的本质就是用具有唯一可求解的方程代替具有多个解的方程，用求解矩阵主对角线上所有元素之和代替求解矩阵的秩。Recht[11]从理论上证明了用凸优化求解问题的可行性，而对于矩阵是稀疏的这一前提，我们可认为相对于数据本身来说大多数的干扰和噪声是稀疏的。

其中LRMR技术主要包括Accelerate Proximal Gradient （APG）与Augmented Lagrange Multipliers （ALM），而ALM又分为Exact Augmented Lagrange Multipliers （EALM）与Inexact Augmented Lagrange Multipliers （IALM）两种算法。其中APG算法就是在某一点最小化目标函数的近似函数，ALM算法实际是运用次微分与阈值迭代的算法近似替代最优解，而EALM和IALM算法之间的区别在于低秩矩阵A和噪声矩阵E的交替更新次数。在EALM中是交替更新A和E得到近似解，在IALM中只需要对A和E各更新一次得到子问题的近似解。

2 仿真实验

本论文的仿真实验环境为：微机型号Lenovo G460，CPU（Intel（R） Core（TM） i3-380M 2.53 GHz），内存2.00 GB，硬盘容量500 GB，软件平台Windows7（32位）操作系统，Matlab7.0。

2.1 稀疏线阵设计

现在将压缩感知技术应用于稀疏线性阵列方向图的求取，并对仿真效果进行分析。

给定一个具有[N]个阵元的均匀矩阵[L0]，并且设每个阵元的权值都为1。首先根据压缩感知技术对线阵进行稀疏，得到稀疏线阵[L1]，使得剩余位置的阵元的权值为[wii∈Ω]，其中[Ω]是剩余阵元位置的集合。然后通过重构算法将稀疏线阵[L1]重构为恢复线阵[L3]，利用经典算法分别对[L0]和[L3]进行方向图综合，分析效果。

例1：令2N = 20，[d=λ2]，SLVL = -35 dB，用PSO算法进行综合，取适应度函数为

式中：[S=θ0≤θ≤90°-θ0或90°+θ0≤θ≤180°];[PSLL]为实际峰值旁瓣电平;SLVL为预期的峰值旁瓣电平。

经过250次迭代，实验结果如图1所示。从图1可以看出，经过OMMP算法重構权值后的低旁瓣方向图的峰值旁瓣电平可达到-35 dB，而经过OMP算法重构权值后的低旁瓣方向图的峰值旁瓣电平只有-25 dB。

例2：令2N = 20，[d=λ2]，要求在[θ=70°]处形成-80 dB的深零陷，SLVL = -35 dB，使用凸优化算法来进行方向图综合。选用CVX工具箱来进行综合，经过250次迭代，最终所得实验结果如图2所示。从图2可以看出，经过OMMP算法与OMP算法重构后的深零陷方向图均满足了实验要求。

根据以上2个例子可以看出，在相同的算法与参数条件下，经过OMMP算法重构后的线阵方向图与原方向图的结果更接近，效果更好。

根据压缩感知原理，将稀疏线性阵列恢复成均匀线阵，然后再进行方向图综合，这样可以用较少的稀疏阵元，达到实现均匀阵元方向图综合的效果，这对设备的小型化和经济性有很好的作用。

2.2 稀疏面阵设计

根据低秩恢复技术，可以对10 × 10的均匀矩阵（权值为1）稀疏、重构并得到其方向图。为了得到一个均匀平面矩形天线阵的Chebyshev方向图（图3），在这里用稀疏矩形天线阵来实现。假设期望的副瓣电平SLVL = -30 dB，对于一个10 × 10的均匀矩阵，阵元间距[d=λ2]，权重因子由Chebyshev法产生。从均匀矩阵中随机不断移除阵元，之后分别用3种低秩恢复算法进行恢复并进行方向图综合，直到剩余阵元恰好满足方向图的要求。

3种低秩恢复算法综合所得方向图分别如图4、图5、图6所示，算法运行具体指标如表1所示。可以看出，3种低秩恢复算法均可较好地将稀疏矩阵恢复成均匀矩阵，并得到符合要求的方向图。其中，EALM算法的稀疏效果最好，APG算法的方向图误差最小。

综上所述，将低秩恢复算法应用于稀疏矩阵天线方向图综合，可以在节省20%～30%的阵元的情况下获得与原矩阵十分接近的方向图综合效果，因此低秩恢复算法在稀疏矩阵天线方向图综合中的应用获得了成功。

3 结语

本文提出了一种阵列稀疏的新方法，对线阵与面阵分别采用压缩感知与低秩矩阵恢复技术来减少阵元数。通过实例仿真分析，证明了该方法的有效性。通过稀疏阵列，可以减小天线的尺寸，在经济上有许多优点。但是基于压缩传感的稀疏阵列的方向系数通常比均匀阵列的方向系数小得多。虽然合成的稀疏阵列可以获得与均匀阵列相同的天线方向系数和方向图，但其天线阵元数较少，因此会损失扫描能力。在以后的研究中，将对这个问题进行深入探讨，希望能找到更好的方案。

参考文献：

[1]    范瑜，金荣洪，耿军平，等. 基于差分进化算法和遗传算法的混合优化算法及其在阵列天线方向图综合中的应用[J]. 电子学报，2004，32（12）：1997-2000.

[2]    焦永昌，杨科，陈胜兵，等. 粒子群优化算法用于阵列天线方向图综合设计[J]. 电波科学学报，2006，21（1）：16-20，25.

[3]    范瑜，金荣洪，刘波，等. 阵列天线方向图综合中的遗传算法目标函数研究[J]. 电子与信息学报，2005，27（5）：801-804.

[4]    王停，夏克文，张文梅，白建川. 基于改进QPS0算法的阵列天线方向图综合[J]. 电子学报，2013，41（6）：1177-1182.

[5]    石力，陈鑫，吴玮琦，等. 基于自适应遗传算法的方向图综合[J]. 电波科学学报，2014，29（1）：169-177.

[6]    王玲玲，方大纲. 运用遗传算法综合稀疏阵列[J]. 电子学报，2003，31（S1）：2135-2138.

[7]    焦李成，杨淑媛，刘芳，等. 压缩感知回顾与展望[J]. 电子学报，2011，39（7）：1651-1662.

[8]    HAWES M B，LIU W. Compressive sensing-based approach to the design of linear robust sparse antenna arrays with physical size constraint[J]. IET Microwaves，Antennas & Propagation，2014，8（10）：736-746.

[9]    WRIGHT J，GANESH A，RAO S，et al. Robust principal component analysis：exact recovery of corrupted low-rank matrices[EB/OL]. 2009：arXiv：0905. 0233[cs. IT]. https：//arxiv. org/abs/0905. 0233.

[10]  CAND?S E J，PLAN Y. Tight oracle inequalities for low-rank matrix recovery from a minimal number of noisy random measurements[J]. IEEE Transactions on Information Theory，2011，57（4）：2342-2359.

[11]  RECHT B. A simpler approach to matrix completion[J]. Journal of Machine Learning Research，2011，12：3413-3430.

[12]  GHAYOULA R，SMIDA A，GHARSALLAH A，et al. Hybrid MUSIC Dolph-Chebyshev algorithm for a smart antenna system[J]. International Journal of Communication Systems，2014，27（12）：3706-3719.

[責任编辑    田    丰]