高中数学解题中的有效策略

黄秋林

在解数学习题时，同学们要抓住几个解题要点，否则，在解题时便会出现错误.现举例说明.

一、在解题过程中要明晰数学问题

解题的第一步，在于要明确数学问题的概念、公式、定理、性质、符号，这是解题的基础.高中数学题目中涉及的概念、公式、定理、性质、符号是平时在学习时就要去理解、记忆的，做习题的水平，能够直接反映出平时的理解、记忆水平.

例1如果双曲线x2a2-y2b2=-1的离心率为54，那么两条渐近线的方程为（）.

A.x9±y16=0

B.x16±y9=0

C.x3±y4=0

D.x4±y3=0

该题易出现的错误为选择答案D，选择的依据为e=ca=54c2a2=2516=a2+b2a2=1+b2a2b2a2=916ba=±34y=±34xx4±y3=0.该题的错误在于没有正确地理解双曲线标准方程、离心率、渐进线方程的概念.双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），它的渐进线方程有两种形式y=±bax或y=±abx，现在不能僅仅凭双曲线标准方程来确定它的渐进线方程为两种形式中的哪一种，此时要通过离心率e=ca>1来推知a、b的关.现已知离心率为54，那么可知x2a2-y2b2=-1y2b2-x2a2=1，于是e=cb=b2+a2b=54，于是可得ab=34.因为双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的渐进线方程为y=±bax，那么可得y=±43x，从而可得x4±y3=0.审题的第一步就是要明晰数学概念，即要明确该题要解决的是什么数学问题，它涉及的概念是什么，概念和概念之间的关系是什么.

二、在解题过程中要应用严谨的思维逻辑分析问题

解题的第二步，要应用严密的思维逻辑分析问题.在做习题时，要用抽象思维来分析问题，然后应用分类思想将问题分类，把数学问题变成一个问题的集合.现在，要探讨的问题，可以成为这个集合中的非空子集，然后，要理顺非空子集之间的逻辑关系，解子集和子集的联系，直至完成问题的求解.

例2编号为1，2，3，4，5的五个人，分别坐在编号为1，2，3，4，5的座位上，则至多有两个号码一致的坐法种数为多少？

这一题较为常见的错解为“至多有两个号码一致”的对立事件是“三个或四个（即五个）号码一致”，那么可知三个号码一致有C35A22种，四个号码一致仅1个，于是所求的坐法种数为A55-C35A22-1=99.该题错误的原因为在审题时，没有理解文本内容的内在逻辑，如果存在3个号码一致的情形时，则另两个号码就不能一致.于是“至多有两个号码一致”的对立事件是“三个和四个（即五个）号码一致”，于是所求的坐法种数为A55-C35-1=109.在高中时期，在解决数学问题时，不能仅仅只凭着感觉、直觉来审题，而要应用严密的逻辑思维来分析问题，避免在审题时出现逻辑思维漏洞.

三、在解题过程中要挖掘文本的隐含条件

解题的第三步，就是要在分析问题时，发现问题中有没有隐含的条件.在解决数学问题时，如果没有发现隐含的条件，便意味着没有正确的理解问题，即不能正确的解答习题.

例3已知（x+2）2+y24=1，求x2+y2的取值范围.

该题最常见的错误为：由已知得y2=-4x2-16x-12，于是可知x2+y2=-3x2-16x-12=-3（x+83）2+283，那么当x=-83时，x2+y2有最大值283，于是x2+y2的取值范围是（-∞，283].该题出现解题错误的原因是没有发现已知条件中包含一个隐含条件，即x的取值范围已经受到了限制.该题的正确答案为根据已知条件得y2=-4x2-16x-12，那么x2+y2=-3x2-16x-12=-3（x+83）2+283，因为（x+2）2+y24=1（x+2）2=1-y24≤1-3≤x≤-1，所以当x=-1时x2+y2有最小值1，从而可得x2+y2的取值范围是[1，283].在分析题目时，要挖掘出问题的隐含条件，把它当作数学问题探讨对象中非空子集的一部分.如果在解题时，没有挖掘出隐含条件，那么意味着逻辑分析会出现错误.