深度学习：让数学思维真正发生

王新甫

摘  要：“学习就是学习思维”。课堂教学要以教材为基础，突破思维活动的浅层局限性，拓展儿童的思维能力，让数学的思维真正发生。

关键词：数学学习;知识过程;深度思维

杜威曾经指出：“学习就是学习思维。”培养孩子养成灵敏、缜密、透彻的思维是课堂教学的任务之一。回眸我们的课堂教学，不难看出不少教师的教学仍然处于“浅尝辄止”的状态，教学大都表现为简单的知识传授，却忽略了让学生主动去发现、了解数学知识，探究数学知识之间隐藏的内在逻辑，缺乏思维深度。由于儿童的学习活动始终处于“浅层活动”，从而直接影响了学生课堂学习的质量。因此，教学必须打破传统教学中学生被动学习的状况，要以教材为基础，突破思维活动的浅层局限性，拓展儿童的思维能力，让儿童的思维走向“核心区间”。

■一、行进：梳理传统儿童数学思维生长的现状

1. 方式简单化——偏重“讲解”，忽略了知识形成的过程

比如教学“圆周长”，部分教师习惯性地认为只要学生知道圆周长的计算公式，会用公式求圆周长就行了。教学时，先让学生认识圆的特征，再通过直接讲解让学生知道圆周长的计算公式C=πd，然后设计相应的题组，让学生运用公式进行计算。簡单快捷的直接讲解，看似学生既掌握了圆周长的计算公式，又能熟练地运用公式去解决一些简单的生活实际问题，用较短的时间高效地完成了教学任务。但究其教学本质，学生没有经历圆周长知识形成的过程，少了圆周长知识形成过程的动手操作的体验、思考与感悟。

2. 过程零散化——偏重单个“树木”，忽略了整体“森林”的认知

小学数学知识虽然是用分散、螺旋上升的编排方式安排在各个学段，但分散的知识之间往往存在着内在的逻辑关联。一些教师缺乏对教学内容的整体解读，教学时就知识讲知识，学生的数学思维也只能在“浅层活动”中片面狭隘地生长。长此以往，学生学到的只是零散的、琐碎的知识，不能建构完整的知识体系，不能形成完整的数学思维训练体系。

例如，教学“异分母分数加减法”，教师通常先让学生通过题组计算同分母分数的加减，然后创设一定的教学情境，将同分母分数的加减改变一下分数的分母，变成异分母分数的加减，引出新课。在教学“异分母分数加减法”时，引导学生回顾通分及同分母分数的加减计算，得出异分母分数的加减计算方法。这样的教学，看似铺垫有序，关注了学生已有的知识，但其实质只是关联了旧知，没有把“同分母分数加减法”与“异分母分数加减法”内在的逻辑关系纳入“整数、小数加减法”的运算体系当中。学生虽会计算，但没有弄清楚为什么要通分的道理，缺乏让学生进行深度数学思考的过程。

3. 活动浅显化——偏重表层，忽略了思维的深度体验

例如，教学“圆锥的体积”，大部分教师开始也让学生分组进行操作实验，但提供的学具比较单一，只是为数不多的等底等高的圆柱容器与圆锥容器各一个，缺乏从不同的圆锥和圆柱中去甄选这一重要环节;学生只是用教师提供的等底等高的圆柱容器与圆锥容器装满水来操作实验，很容易且很快就能发现圆柱体与圆锥体之间的3倍关系，顺利得出圆锥体积的计算公式，即圆锥体的体积=圆柱体的体积×■。这样的教学，由于教师提供的学具单一，学生并没有清楚为何要选取等底等高的圆锥体和圆柱体去进行实验，其操作实质是在做一一对应的操作演示，实验的过程是在教师设定的环节中进行的，基本上没有付出相应的智力代价，从而遮蔽了新旧知识学习的分化点，忽略了新知识教学的重点及关键环节。课堂看似行云流水，但没有体现操作活动应有的价值，学生失去了对问题的发现和再创造，难以获得智慧启迪，思维不能深度地发生。

■二、实践：留存儿童数学思维生长之韵

数学的本质是一种抽象，一种模型。学生对数学知识的学习与掌握，则是一个不断建构的过程，其建构意义的前提是给知识“意义赋予”。怎样让“意义赋予”贯穿整个学习的过程，这就要找寻数学的“根”，因为它是继承与创新的原点。为此，在课堂教学中，要着力挖掘与课程内容相关联的有效资源，让知识学习回归到知识形成的源头、思维的原点， 从知识原点生发出来的学习，才有生长的力量，这才是真正的“学数学”。

1. 把握儿童思维“可能的现实”

数学与生活是密不可分的，丰富的现实生活为学生的思维发展提供了可能。每个儿童由于有着自身的“生活现实”，他们对数学知识的认识理解不一，为此就形成了各自的“数学现实”。教学时，要从不同学生的思维起点，选择思维的“最近发展区”出发，将学生的数学学习思维由“可能的发展区”转变成为“现实的发展区”。

例如，教学“平行四边形的面积”，可先复习回顾用面积单位摆面积的方式得出长方形的面积。在探究平行四边形的面积计算时，学生受到长方形的面积计算方法的推导影响，操作时也会试图用面积单位摆面积的方式来研究平行四边形的面积计算。在用面积单位摆面积的过程中，学生的操作很快出现了瓶颈，原因是平行四边形的四个角不是直角，用面积单位不能摆出完整的平行四边形。怎样把平行四边形的角转化成直角呢？学生的思维有了跳跃性的发展，可以通过“剪—移—拼”的转化方法，把平行四边形转化成长方形。这样，平行四边形的面积计算方法推导得水到渠成。这样的课堂教学，无论是过程还是方法，指向的都是儿童。儿童参与了数学学习的全过程，在探究新知识的过程中思维得以长足发展，操作体验为孩子留下了更深的痕迹，课堂变得别样精彩。

2. 还原“知识过程”的思维形态

数学教材呈现给孩子的是经过高度提炼并简约化的符号知识，是以“知识点”分散螺旋上升出现的，它简化了知识形成的“过程”，给出的是知识的结论和规律。如果把这些结论和规律只是简单地“告诉”学生，让知识与学生直面而行，那么学生的学习则是“形于外”而并非“发于内”，学生的思维不能获得较深的体验。因此，教学时必须凸显知识的发生、发展的过程，对数学结论和规律进行全面解压，帮助学生亲历知识的形成过程，亲身体验和感悟知识的本质内涵。

例如，教学“假分数”，受初步认识分数的影响，多数孩子认为分数都是分子小于分母的数，这就造成了一定负面的思维定式，从而对“假分数”的概念难以接受，也不太理解。因此，教学时，一方面可直接围绕知识的核心进行提问：■是不是分数？它表示的意思是什么？另一方面组织学生再次进行操作活动，从“把1个梨平均分给4个小朋友，每人分到了■个梨”开始，随着梨的数量逐步增加，每人分到的梨的数量经历了从■累加到■的过程。操作时，要求学生一边观察一边比较，从而体会到“每多1个梨，每人就能多分■个梨”，真正感悟随着分数单位的增加，分数由小于1的真分数逐步趋向于等于1的假分数，以至形成最后大于1的假分数。学生经历假分数形成的全部过程，假分数的现实意义也就欣然被学生所接纳。

3. 形成数学思维的“涡式”循环

“认知负荷理论”认为，学习者的工作记忆会经过加工、组织、比较等任务，其中认知负荷在经历的过程中是一个非常关键的因素，对于同样一个问题的解决，所需要的知识是不固定的，操作的过程中有很大的随机性，需要从学习者记忆中搜寻出更多的信息，并对搜寻到的信息进行加工并合理整合，以致创造性地解决问题。教学时，我们可以借助“认知负荷理论”，围绕知识原理进行深度加工，从而实现对一般知识内容的高度融合。

例如，學生学习“圆锥和圆柱”这一内容后，可以设计这样的一道提高题：小红以往买的牙膏出口直径是5毫米，她每次刷牙挤出的牙膏长度大约是12毫米，一支牙膏一般能用36次。后来购买的新品牙膏出口直径变成了6毫米，她每次刷牙挤出的牙膏长度还是12毫米左右，一支新品牙膏大约能用多少次？

生1：不论是旧牙膏，还是新牙膏，它的体积是不变的，我们可以先算牙膏的体积：3.14×（5÷2）2×12×36=8478（立方毫米）;然后再算每次刷牙时用新品牙膏的体积：3.14×（6÷2）2×12=339.12（立方毫米）;最后求出新品牙膏用了多少次：8478÷339.12=25（次）。

生2：我觉得这种方法虽然正确，但计算比较麻烦，如果改用方程来解会简便一些，列出的方程是这样的：3.14×（6÷2）2×12×x=3.14×（5÷2）2×12×36，根据等式的性质，方程可简化为9x=（5÷2）2×36，解方程得x=25。

生3：用方程计算是比较简便，但我认为用比的方法来计算更简便，根据条件可以知道两个牙膏的底面直径比是5∶6，那么它们的底面积比就是25∶36，体积比就是25∶36，所以新品牙膏可使用25次。

由于课堂给学生提供了充分思考的时间与空间，不同的学生根据各自的认知水平，从一般的算术解法到方程解法，最后上升到简洁的比的解法，实现了算法多样化及优化的策略，思维层次也随着学生的思辨深入在逐步提升，而这些具有生长力的思维方式则成为学生后续学习的动力源，数学思维就变得更朴素、厚重了。

■三、思考：走向儿童数学思维生长的方向

著名的数学史家M.克莱茵说过：“数学是一种精神，一种理性的精神。”数学理性精神的本质就是数学“根”，是数学核心素养之一。学生的数学理性不是天生具备的，而是在实际生活中逐步培养形成的，它蕴含着无限的智慧。因此，课堂教学中重视数学理性的培养尤为重要。

1. 顺应思维特点，还原儿童思维生长的起点

学生在课堂上表现出思维水平的高低，则凸显出学生个体运用已有知识经验去进行观察、分析、猜想、归纳等诸方面的综合素养。学生在进行数学思维时，有时借助形象，有时借助抽象，各种思维成分表现在不同问题上，发挥着不同的作用。比如教学“长方体和正方体的认识”：

师：我们已经知道长方体有6个面，每个面都是长方形，长方形有4条边，长方形的边就是长方体的棱。一个面有4条棱，照这样计算，6个面应该有24条棱，为什么却只有12条棱呢？

生1：计算时，长方形的同一条边各算了两次，因此是6×4÷2=12（条棱）。

师：有道理，你很会思考，谁还能像这样提一些“为什么”的问题？

生2：我发现，长方体有6个面，每个面都有4个顶点，6×4=24，应该有24个顶点，为什么只有8个顶点呢？

生3：能不能由棱的条数推算出顶点的个数、面的个数？

……

反思我们的课堂，学生在实验时，从不缺乏观察、操作、猜测、验证等活动，而真正运用数学知识进行简单推理的并不多见。学生从熟知的长方形出发，以长方体的模型和直观图为依托，以各自数量之间的关系、面和棱的特征联系为研究对象。教师引导学生对顶点的个数、棱的条数展开验证性推理是非常有价值的。学生能够从长方形面的特征推理出长方体棱的特征，从长方体棱的特征推理出长方体面的特征。在这个简单的推理过程中，有的是凭借经验和直觉，有的是依据固有的生活事实，还有的是通过归纳和类比，所有这些让我们看到了几何证明的雏形。持之以恒坚持下去，学生的数学思维一定能从“浅表”走向“深刻”。

2. 引领思维回溯，凸显儿童思维生长的力点

从建构主义的角度来看，数学活动是一个让学生经历“数学化”的过程。课堂上，教师要根据教学内容和学生的实际，合理开发和使用各种教学资源，引领学生去寻求数学知识的“源头”，找寻数学知识的“根”，真正经历“无疑—生疑—解疑—领会”思维过程，不断引发学生的“认知冲突”。通过学生与教材文本及教师产生交互作用，激发“创造”新知识的需求和欲望，体验知识的产生过程，获得学习数学知识带来的愉悦，全面提升学生的数学应用能力。

例如，教学“除法竖式的简便计算”时：“900÷40，余数为什么会是20而不是2？”教学时，往往通过验算方法加以说明。这样做，仅仅是让学生在直观上感知而已，并不能让学生真正理解“余数为什么是20而不是2”的算理。为此，教学不能到此为止，更要引导学生去思辨余数的“由来”，借助已有的“商不变的性质”，认识到90个“十”里面有22个“4个十”，还余2个“十”。这样，余数的来龙去脉就一清二楚了。学生既知其然，又能知其所以然，他们的思维能力随着数学知识的加深会不断提高与发展。

3. 积淀思维土壤，丰富儿童思维生长的原点

《义务教育数学课程标准》指出：“应重視口算，加强估算，提倡鼓励算法多样化。”算法多样化有利于培养学生独立思考的能力，利于培养学生的发散思维能力，更能拓展学生个性思维空间。但倡导算法多样化的同时必须遵循学生的认知规律，只有让学生在充分的观察比较中，学生才能有所体验、感悟，才会充分体现算法多样化的有效性和合理性。在实际运用中，有时学生虽能关注到计算的多样化，却不能深度去思考，达不到计算的最优化，主要是在优化的同时没有留给学生反思的时间和空间，没有对运算过程中的简便计算进行准确的甄别，采用的计算方法不能凸显简便计算本身所特有的数学价值。

例如，25×24的简便计算，学生往往采用的计算方法是：

方法一：25×24

=5×（5×24）

=5×120

=600

方法二：25×24

=25×4×6

=l00×6

=600

对于新课程理念指导下的课堂教学，大部分教师一般会认为这两种运算方法都是可以的，体现了不同个体运用相关知识进行简便运算的能力，说明学生已经养成了简便运算的意识。纵观这两种运算方法，过程是简便的，结果也正确，但究其本质还没有凸显简便运算的最高境界，达到算法的最“优化”，究其主要原因是学生还没有认识到简便计算的价值所在。所以，我们的教学需要对学生进行进一步的引导与甄别。教学时，教师可引导学生进一步深入思考，观察比较：一个运算是“5×24”，另一个运算是“4×25”，两个运算虽然都是一位数乘两位数的乘法，但呈现的“5×120”和“l00×6”的运算，谁的计算更简便呢？通过观察、讨论、思辨，学生在比较的基础上会重新做出新的抉择，从而使思维向纵深处又迈进了一步。

4. 催生思维碰撞，找寻儿童思维生长的远点

让学生的思维由“直观”逐步提升到“抽象”，作为数学教学这一目标，在整个小学阶段占据了重要的地位，小学生的思维正处于直观形象阶段，具有动态直观的信息更能有助于激发学生的内驱力，有助于学生在操作实践的基础上感知形象，填补学生由直观到抽象的认知空白。为此，在平时的教学实践中，作为教师要本着“扬弃”的原则，传统训练要保持，但训练手段要创新，要打破传统的记忆方式，要多留给学生思考的时间与空间，对所要解决的问题不断地适时适度进行拓展与延伸，引领学生在直观与抽象之间游走，最终促进抽象思维的形成。