逻辑品质：数学推理的应有之义

周莉

摘  要：数学推理是学生适应终身发展和未来社会发展的关键能力，也是现代社会公民必备的品格。数学推理应当具有推理证据，应当引导学生经历推理的全过程，促进学生对论点进行反思。通过数学推理，积累学生数学活动经验，提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。

关键词：小学数学;数学推理;逻辑品质

数学推理是数学的基本思想，也是学生数学思维的基本形式。东北师范大学史宁中教授曾经这样说过：“学生的数学核心素养主要有三，抽象、推理与建模。”引导学生在数学学习中积极地推理，能有效地发展学生的关键能力。从推理形式上看，推理主要分为两大类，即合情推理与演绎推理。无论是合情推理还是演绎推理，都必须具备逻辑性的品质。换言之，数学推理应当具有推理证据（论据），应当引导学生经历推理的全过程（论证）。作为教师，应当将数学推理教学贯穿数学教学的始终，从而有效地提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。

■一、立论的证据：数学推理的原点

数学推理是学生适应终身发展和未来社会发展的关键能力，也是现代社会公民必备的品格。所谓“推理”，就是学生能根据若干个旧命题来推出、确定新命题的思维过程。因而，“论据”应该而且必须是数学推理的原点。教学中，教师首先要引导学生对推理对象进行分析，从而把握问题的核心、本质，引导学生用数学语言对推理对象进行数学化的提炼、概括，进而不断地提升学生的数学推理品质。

在数学教学中，教师要引导学生发掘推理资源，从推理资源中寻找推理的证据。一般来说，演绎推理是从大前提、小前提出发的，因而这种大前提、小前提就构成了学生推理的证据。即便在合情推理之中，学生的猜想也不是无缘无故的，而是有根有据的。如在“不完全归纳推理”之中，其推理的根据就是部分例子;在“类比推理”之中，其推理的根据就是两个对象在某些方面的相似性、共同特质。如教学“比的基本性质”（苏教版数学六年级上册），教师就可以引导学生进行类比推理。学生根据除法、分数以及比之间的关系，即被除数相当于分子、相当于比的前项，除数相当于分母、相当于比的后项，除号相当于分数线、相当于比号，根据除法的商不变的规律、分数的基本性质，能够猜想出“比的基本性质”。这就是一种类比推理。类比推理有助于发展学生由此及彼、由表及里的数学观察、猜想能力。在学生提出猜想之后，教师可以引导学生进行举例验证，这些例子又构成了学生“不完全归纳推理”论证的论据，尽管这些论据是不完整的，但是通过“类比推理”与“不完全归纳推理”的有效结合，足以论证命题的科学性、真理性。

论据是数学推理的原材料，具有充分的价值。作为教师，要引导学生抓住对象、问题的本质，对问题、对象等进行深度剖析，让论据真正成为学生数学推理的有力载体、媒介。只有在论据充分的基础上，学生才能进行推理，才能提出猜想，才能展开论证，才能进行观察、分析、比较、归纳、演绎等数学化的活动。

■二、过程的论证：数学推理的关键

学生推理能力的形成、发展是在推理论证过程中实现的。论证是数学推理的关键，也是数学推理的核心。在论证的过程中，教师要赋予学生数学推理的空间，引领学生经历数学推理的过程。在论证的过程中，要引导学生思考、探究，发现推理对象之间内在的逻辑关系。作为教师，既可以引导学生进行类比猜想、不完全归纳猜想，引导学生进行演绎论证或实验论证，等等。

比如在教学“平行四边形的面积”时（苏教版五年级上册），不同的学生基于不同的论据，提出了不同的数学猜想。有学生认为，平行四边形的面积等于底乘斜边，因为平行四边形可以推拉成长方形，其中长方形的长相当于平行四边形的底，长方形的宽相当于平行四边形的斜边;有学生认为，平行四边形的面积等于底乘高，因为平行四边形可以剪拼成长方形，剪拼后的长方形的长相当于平行四边形的底，剪拼后的长方形的宽相当于平行四边形的高。两类观点看似都有道理，都有立论的根据。为此，笔者就引导学生展开实质性的论证，引导学生将平行四边形放置在方格图之中，让学生用最为原始的方法“数方格”进行论证。在验证的过程中，部分学生经历了自我否定的过程。这个否定的过程，是学生进行推理证明和推理证伪的双重过程。一方面，学生认识到，平行四边形在推拉成长方形的过程中，面积发生了变化，而平行四边形在剪拼成长方形的过程中，面积没有发生变化，因而平行四边形推拉成长方形不能用作平行四边形面积公式的猜想论据，而平行四边形剪拼成长方形可以作为平行四边形面积推理的论据;另一方面，学生通过将平行四边形剪拼成长方形，比较、转化前后的图形，经由演绎推理，得出了平行四边形的面积公式。在演绎推理的过程中，学生主动展开图形观察、图形度量、图形操作、图形变换等活动。因此，论证的过程就是学生数学学力提升的过程，也是学生数学核心素养悄然发展的过程。

论证是一种具有实证精神的科学性活动。学生的论证能力既存在着年龄特征，又表现出个体性的差异。伴随学生年龄的增长，学生的论证能力会不断地增强。学生不仅会正向论证（证明），还会反向论证（反证或证伪）等。作为教师，要引导学生的数学论证，让学生的论证水平能得到发展，甚至产生质的飞跃。

■三、论点反思：数学推理的核心

传统的数学推理教学，往往在学生通过过程论证之后，就引导学生将论点（包括数学的定理、定义、规律、公式等）进行运用。其中少了至关重要的一环，这就是论点反思。著名的数学教育家弗赖登塔尔说：“反思是数学的重要活动，它是数学活动的核心和动力。”论点反思，不仅仅是为了回顾论证过程的合理性、科学性，更为重要的是指向未来。通过反思，学生能认识到论点的科学性、价值性和意义性。

反思，是学生数学学习可持续性发展的根本条件。通过反思，学生对数学推理所形成的论点的理解会更深刻、更完善，对数学论点的把握也会更周全。比如教学“三角形三边关系”（苏教版四年级下册），學生通过结构性小棒搭建三角形的实验、归纳论证之后，学生建构了“三角形的任意两条边的和必须大于第三条边”的结论性的论点。据此，笔者引导学生反思：这样的结论性的论点，还可以怎样表述？在深度研讨之后，有学生说，“三角形的任意两条边的差必须小于第三条边”;有学生说，“三角形的最长的边必须小于另外两条边的和”;还有学生说，“三角形的最长的边小于周长的一半”，等等。相同的论点，通过反思，形成了不同的表述方式，这些表述方式在解决问题时各具价值。比如已知一条线段长20厘米，如何将之分成有效的三段（整厘米数），使它们能围成三角形？这样的问题，学生运用“三角形最长的边小于周长的一半”，就能迅速解决。

著名的教育家波斯纳认为，“学生的学习是学习经验加上学习反思”。在数学推理的过程中，教师要重视论据的发掘，重视引导学生进行有效的论证，重视学生对论点的反思。在引导学生进行推理的过程中，教师要引导学生感悟思想、发展思维，从而形成学生终身受益的数学思想方法，不断地积累学生的推理经验。