运用逆向思维，巧解数学问题

周映花

摘  要：小学阶段是培养逆向思维的重要时期，要结合学情实际，完善教法体系，让学生从逆向思维应用中，提高解题热情，增强解题能力。文章对小学数学学习中，运用逆向思维，巧解数学问题进行了探析。

关键词：小学数学;逆向思维;价值

在数学核心素养中，思维的激活与创新是发展重点，运用逆向思维来求解数学问题，往往能够为巧解难题找到新的突破口。逆向思维是思维发散的一种方式，并不适合所有数学问题。但对于逆向思维的关注，重在开拓学生的解题视野，为学生巧解题、会解题奠定基础。关注逆向思维，就是要以“反其道而行之”的思维方式，面对数学题目，变换解题方向，寻找新的突破口。

■一、重视逆向思维渗透，发挥教育价值

在数学核心素养中，思维力的培养至关重要。逆向思维是一种思维方式，也是数学素养的重要内容。在小学数学解题教学中，“多做题”仿佛成为不变的定律。长此以往，学生的思维就可能被固化，而逆向思維作为发散思维之一，其作用表现在：一是将复杂问题简单化，如某题：29+299+2999+29999+299999，如果采用传统的求和计算，不仅费时费力，还易出错。如果采用逆向思维，可以将上面的五个数分别加“1”，再整体减“5”，那么解题效率将大大提升。可见，从逆向思维来分析和求解数学题，可以让一些复杂的难题变得简单。二是增进学生对数学知识的深刻理解。数学知识点具有逻辑性、关联性、抽象性，学生在求解数学问题时，可能会因理解不准确而找不到解题思路。如7的5倍是多少？我们通过正向思维，可以很快算出“35”;但我们问学生：一个数的5倍是“35”，这个数是多少？一些学生就会迷惑不解，搞不清楚如何求解。

事实上，在数学知识结构中，很多数学公式具有双向性。如1千克=1000克，同样10000克=10千克。只有让学生理解并懂得逆向思维的重要性，而不是按部就班地习惯于搬用固定公式来解题，才能增强学生的解题思维灵活性，夯实学生的数学素养。

■二、挖掘题目中的关键点，抓住逆向思维应用时机

在数学解题中，对逆向思维的运用，并非适合所有题。什么时候适宜逆向思维，需要我们把握数学题目的关键点。如数学教材中的顺逆公式、顺逆关系式等，这些问题可以利用逆向思维，换个角度来分析题意，找准解题突破口。

以某题为例：有一包糖，共80块。由2人分，每人多少块？由4人分，每人多少块？由8人分，每人多少块？对于该题所用到的数学乘除法知识，我们可以进行剖析。什么是乘法？对于相同的几个数相加，就等于该数乘以相加的次数。反过来，对于除法，一个数除以加数，可以得到次数。因此，从某种视角来看，乘法与除法具有互逆性。分析上题可知，由2人去分，就等于将“80”作为整体，分给2人，用“80÷2”来解;由4人来分，就等于“80÷4”;同样道理，对于8人来分，就等于“80÷8”。在求解中，数量关系的提炼是解题的关键点。通常在题目分析时，可以用顺推方式来找到数量关系，也可以用逆推方式去推导数量关系。

又如，顾客给售货员100元，买了3个足球，售货员找顾客4元，问足球多少钱？分析该题时，需要我们从题设中找准数量关系。顾客付了100元，找回4元，实际付了多少钱？这些钱，共买了3个足球，由此可以算出每个足球值多少钱。在分析题意时，可以逆向寻找求解思路。想要算出每个足球的价格，就得知道两个关键点，一是花了多少钱，二是买了几个球。显然，题目中有“3”个球，但并未给出具体的钱数。这个钱数又与付出“100”元，找回“4”元有关，可以先计算出花了多少钱，即“100-4=96”，然后，利用“一个数乘以3得到96”这一逆向思维，就可以找到计算方法，“96÷3=32”。

可见，对于逆向思维的应用，要能够从题意中找到逆向转换的条件。教师要引导学生全面梳理题意，从求解目标反向推导解题条件，与哪些数量关系有关，需要把握哪些数量值，再从中根据数学逻辑，列出求解方法。

■三、关注题设条件，促进发散思维养成

逆向思维的培养，需要强化学生发散思维意识。对于数学题目，教师要关注学生多维化分析题设条件，拓展数学求解思路。很多数学公式往往是需要学生记忆的，但这些公式，很多学生并未真正理解，导致求解时用错。对于这些公式，可以从逆向思维分析入手，探析题设条件，将解题目标与题设建立有效关联，帮助学生灵活运用公式解题。

如小明有一些小五星，这学期又得到24个。小明将小五星送给小华30个，还剩52个。问小明原有多少个小五星？对该题的求解，如果采用正向思维，学生没有学过未知数，也不懂方程，显然在求解思路上难以为继。如果采用逆向推理，小明现有52个小五星，加上之前送给小华的30个，应该是52+30=82（个）;但这个数量里，还有这学期新得的24个，所以应该减去24，即82-24=58（个）。所以说，通过逆向思维来突破解题疑惑，可以让学生从倒推中，深刻理解题意，把握数量关系。同样，逆向思维在求解数学问题时，教师要善于发散学生的数学思维，不能照搬、照抄公式，而是要主动去理解题意，引导学生抓住思维发散点。

又如对于连续多个分数的求和计算，■+■+■+■+■，若直接按照两两通分来计算，则解题烦琐、解题量大，还易解错。因此，对于该题，能否独辟蹊径，找到新的求解方法？对于该题，我们可以利用■-■=■，■-■=■，■-■=■，■-■=■，■-■=■对原式进行变换，得到■-■+■-■+■-■+■-■+■-■，最终简化为■-■=■。如此变换，既让计算量大大降低，也提高了解题速度。所以说，应用逆向思维解题时，要让学生发散思维，并给予针对性训练。

■四、突破解题常规，巧解数学难题

对逆向思维在数学题中的应用，要突破常规思维，敢于从逆向推导中解决难题。通常，在面对解题方法烦琐的应用题时，可以换个角度，从逆向思维中来尝试解题。对于应用题，利用常规的解法，主要由已知条件，寻求未知目标。但一些题目情境较为复杂，正向求解困难大。

如，有一个猴子和一框桃子，如果猴子每天吃框里的一半还多一个桃子，等第十天时，框里仅剩1个桃子。问猴子吃了几个桃子？对于该题，在寻找解题方法时，通常会根据题意，假设共有x个桃子，然后列出一元一次方程，来推导出一个很复杂的解题式子。对于小学生，这种解法显然是烦琐的。此时我们可引入逆向思维，从反向来推导。先从第十天向前推，依次推导第一天，这样一来，问题就会变得很简单。也就是说，第十天时，有1个桃子，则第九天时，应该4个;以此类推。然后将这些桃子数量加一起，即可求解。在平时，一些难以求解的应用题，往往可以尝试逆向思维来获得解题捷径。如某题：羊圈有羊100只，山羊是绵羊的3倍，山羊、绵羊各多少只？分析题设条件，共有100只羊，山羊是绵羊的3倍。学生想依靠一个倍数关系求解，但他们没有学过二元一次方程，会感到棘手，无从突破。这时，我们可以从逆向求索。既然山羊是绵羊的3倍，那绵羊的3倍与山羊数量相等。如果这些羊全是绵羊，则绵羊的4倍就应该等于总羊数。由此，就可以求出绵羊的数量，再按照3倍计算出山羊数量，难题瞬间迎刃而解。

同样，在小学应用题中，难点往往是给出一个已知条件，但并未给出另外的条件，需要学生能够从逆向分析中，找到另外的条件。如某题：工厂生产零部件，每天生产2000个，10天可完成;为了提前完成，如果每天多加工500个，问比原计划提前几天完成？该题求解的是实际天数比计划天数少几天，需要我们计算出实际天数。但这个天数是未知的。根据原计划，每天2000个，10天完成，则可以求解出总数量。第二种方案是每天多加工500个，则每天加工2500个，根据总数量、每天加工量可以计算出实际天数，20000÷2500=8（天）。题目需要求解的是提前了几天，8天与10天进行比较，则10-8=2（天）。

■五、结语

逆向思维作为一种数学求解思路，其应用要结合具体的题目灵活选择。通常，面对数学难题，需要把握两点：一是寻找题设条件，哪些是已知，哪些是未知，根据已知可以推导出哪些中间量，与求解目标有何关系。二是在分析题意时，可以从逆向思维来尝试求解，由问题的结果，从逆向推导中一步步回溯，找到解题方法。在平时，教师要重视逆向思维的训练，让学生能够从逆向思维应用中，深刻理解题意，找准求解关键点，增强难题求解信心，提升数学解题素养。