椭圆曲线y2=x3-x±6的整数点

2020-03-15 09:55
高师理科学刊 2020年12期
关键词:整点有理陇南

(陇南师范高等专科学校 数信学院,甘肃 陇南 742500)

1 引言及预备知识

从集合论的观点看,椭圆曲线实际上就是由它上面的点的集合所构成的,并且可以由其点集唯一确定.椭圆曲线可看作点集构成一个可交换的加法群.一般地,将定义在某一数域上的椭圆曲线E:y2=x3+ax+b上点的集合记作E().设Q 为有理数的集合,一般来讲,有3 个与E(Q)有关的基本问题,分别为确定集合E(Q)中是否有无穷多个有理点,求出集合E(Q)中所有的有理点,求出集合E(Q)中某一个特定的有理点.在一般情况下,这3 个问题都很困难.根据Mordell 有限基定理,椭圆曲线有理点集E(Q)可以有限生成,但生成过程未知[1-2],而著名的21 世纪7 个“千禧难题”之一的BirchSwinnerton-Dyer 猜想(BSD 猜想)[3]就是与椭圆曲线有理点分布有关的一个极具挑战性的难题.BSD 猜想是寻找有关E(Q)的大小信息,是要找到什么情况下椭圆曲线E(Q)有无穷多个有理解,而在具体情况下椭圆曲线E(Q)有有限个解.基于此,与BSD 猜想有关的问题——确定椭圆曲线的整点问题就显得非常重要,也是数论和算术代数几何中的重要问题[4-5].

目前,对于椭圆曲线y2=(x+a)(x2-ax+p)的整点问题,当a=-2时,已经找到对应椭圆曲线所有整点的p值:p=7,1 5,1 8,2 3,3 1,4 3,139[6-12];当m=4p-8=q+1或m=2p-8=q+1且p≡/1(mod8)时,已经找到对应椭圆曲线全部整数点[13].当a=2时,已经找到对应椭圆曲线所有整点的p值:p=7,15,27,31,43[14-18];当a=± 2时,已经找到了当p=36s2-5,s为正奇数,且6s2-1,12s2+1均为素数时的全部整数点[19-20].

本文对a=±2,p=3的情况进行了讨论,得到了椭圆曲线y2=x3-x± 6没有正整数点的结论.文中N+为正整数集合.

2 主要结果及证明

定理椭圆曲线

仅有整数点为(x,y)=(-2,0)及(x,y)=(2,0).

证明设椭圆曲线y2=x3-x± 6的整数点为(x,y),由式(1)可知

显然,(x,y)=(-2,0)及(x,y)=(2,0)是式(2)的解.下面讨论式(2)的非平凡解.

设d=gcd(x±2,x2∓2x+3),由于x2∓2x+3=(x±2)2∓6(x± 2)+11,则d11.因此d=1,11.

首先,讨论

的整点问题.

当d=1时,可令x+2=a2,x2-2x+3=b2,y=±ab,gcd(a,b)=1,a,b∈N+.因为a2≡0,1,4(mod8),所以x≡a2-2≡-2,-1,2(mod8),于是有x2-2x+3≡(-1)2-2×(-1)+3 ≡6(mod8)或x2-2x+3≡(±2)2-2× (±2 )+3 ≡3 (mod8),即x2-2x+3 ≡6,3 (mod8),而b2≡0,1,4 (mod8),矛盾.因此,当d=1时,椭圆曲线y2=x3-x+6仅有整数点(-2,0).

当d=11时,可令x+2=11a2,x2-2x+3=11b2,y=±11ab,gcd(a,b)=1,a,b∈N+.易得(11a2-3)2-11b2=-2 .

令u=11a2-3,v=b,则有u2-11v2=-2 .由引理3~4 可知,不定方程u2-11v2=-2 的全部解只有一个结合类,且由表出.于是可以得到递归序列

及序列性质:un≡1 (mod2),un≡0 (mod3),u2n≡3 (mod11),u2n+1≡-3 (mod11),u4n≡u4n+1≡3 (mod20),u4n+2≡u4n+3≡-3 (mod20).

由un=11a2-3 ≡0 (mod3)可知,2a2≡0 (mod3),a≡0(mod3).又un为奇数,则a必为偶数,于是6|a.不妨设a=6k,那么,要使un=11a2-3=396k2-3≡±3 (mod20)成立,则一定有5k,n≡2,3 (mod 4).于是有30a.因此un=11a2-3 ≡-3 (mod9 900),也即

因此,由式(4)及序列un模4,25,11 的余数规律有

然而,同余方程组(5)~(6)均无解.所以,不存在整数n,使得un=11a2-3成立.这也说明了,当d=11时,椭圆曲线y2=x3-x+6没有整数点.

其次,讨论

的整点问题.

当d=1时,可令x-2=a2,x2+2x+3=b2,y=±ab,gcd(a,b)=1,a,b∈N+.因为a2≡0,1,4(mod8),所以x≡a2+2≡-2,3,2(mod8),于是有x2+2x+3≡(±2)2+2× (±1)+3 ≡3 (mod8)或x2+2x+3≡ 32+2 × 3+3 ≡2 (mod8),即x2+2x+3 ≡2,3 (mod8).而0,1,4≡b2≡x2+2x+3 ≡2,3 (mod8)不可能成立.因此,当d=1时,椭圆曲线y2=x3-x-6仅有整数点(2,0).

当d=11时,可令x-2=11a2,x2+2x+3=11b2,y=±11ab,gcd(a,b)=1,a,b∈N+,易知(11a2+3)2-11b2=-2 .

令u=11a2+3,v=b,则u2-11v2=-2 .由un=11a2+3 ≡0 (mod3)可知,2a2≡0 (mod3),a≡0(mod3).由于un为奇数,则a必为偶数,于是6a.不妨设a=6k,那么,要使un=11a2+3=396k2+3≡±3 (mod 20)成立,则一定有5k,且n≡0,1(mod4).此时30k,因此un=11a2+3 ≡3 (mod9 900),也即

综上可知,椭圆曲线y2=x3-x+6仅有整数点(x,y)=(-2,0),椭圆曲线y2=x3-x-6仅有整数点(x,y)=(2,0). 证毕.

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