哪个阶层参与影子教育的收益最大
——博弈论的视角

丁亚东 薛海平

一、问题的提出：影子教育的量与收益?

“影子教育”作为一个独立的教育概念,最早由史蒂文森(D.L.Stevenson)和彼克(D.P.Becker)提出。①朱洵：《教育全球化中的影子教育与文化资本理论》,《清华大学教育研究》2013年第4期。②李娜：《影子教育在我国的发展趋势》,《中国教育学刊》2015年第5期。它主要是指区别于正规教育之外且依附于正规教育而存在的一种教育系统或形式。③李娜：《影子教育在我国的发展趋势》,《中国教育学刊》2015年第5期。目前影子教育被推上“减负”排行榜的最前沿,社会各界对影子教育治理的呼声不断。明确不同阶层在影子教育投入上的收益,对于推进影子教育治理有着重要的现实意义。

现阶段对于影子教育的研究主要集中在影响影子教育参与因素、影子教育对学生成绩和教育不均等的影响以及影子教育对社会阶层流动的影响等方面。在影响影子教育参与因素的研究上,主要集中在学生个人因素、家庭因素和学校因素三个方面；在学生个人因素方面主要以学生的学业成绩、是否独生子女、户籍等变量为主；在家庭因素方面主要以家庭的经济、文化和政治等背景因素为主；在学校因素方面主要以学校的办学类型、学校的级别以及学校所在地等因素为主。本文选取个人因素中的学生个人能力和家庭因素中的家庭经济背景两项指标,作为下文博弈模型的分析变量,并以家庭经济背景作为阶层划分的主要依据。已有研究中关于影子教育收益的主要衡量指标是学生学习成绩,而影子教育对学生学习成绩的影响还没有形成统一的认识①李佳丽、胡咏梅：《谁从影子教育中获益?——兼论影子教育对教育结果均等化的影响》,《教育与经济》2017年第2期。：有学者研究得出影子教育对学生学习成绩有显著正影响,②Tansel,A.,and F.Bircan."Private Supplementary Tutoring in Turkey Recent Evidence on Its Various Aspects,"ERC Working Papers,vol.9,no.1,2008,pp.162-171.③Byun,S.,Y.Shadow Education and Academic Success in Republic of Korea.Korean Education in Changing Economic and Demographic Contexts,Singapore：Springer,2014,p.39-58.有学者研究得出影子教育对学生学习成绩没有影响,④Smyth,E."The more,the better?Intensity of involvement in private tuition and examination performance,"Educational Research ＆ Evaluation,vol.14,no.5,2008,pp.465-476.⑤Ryu D.,and C.Kang.“Do Private Tutoring Expenditures Raise Academic Performance?Evidence from Middle School Students in South Korea,”Asian Economic Journal,vol.27,no.1,2013,pp.59-83.也有学者研究得出影子教育对学生学习成绩有显著负影响。⑥Guill K.,and W.Bos.“Effectiveness of Private Tutoring in Mathematics with Regard to Subjective and Objective Indicators of Academic Achievement：Evidence from a German Secondary School Sample,”Journal for Educational Research Online,vol.6,no.1,2014,pp.34.⑦Lee J.T,Kim Y.B.,and C.H.,Yoon.“The Effects of Pre-class Tutoring on Student Achievement：Challenges and Implications for Public Education in Korea,”KEDIJournal ofEducational Policy,vol.1,no.1,2004,pp.25-42.本文认为影子教育的收益取决于学生参与影子教育的程度和影子教育的竞争程度,影子教育的参与程度主要受家庭经济背景的影响,影子教育的竞争程度主要受学生个人能力的影响。因此,本文从这两个变量出发,使用博弈论去探讨不同阶层的家庭参与影子教育的收益,为家庭是否选择参与影子教育、如何选择影子教育提供借鉴。

根据已有研究,家庭经济背景越好学生越有可能参与影子教育,⑧李佳丽、胡咏梅、范文凤：《家庭背景、影子教育和学生学业成绩——基于Wisconsin模型的经验研究》,《教育经济评论》2016年第1期。这在一定程度上可以反映出家庭所处的阶层越高学生参与影子教育的可能性就越高,影子教育的参与程度就越大,即越有可能获得更多的影子教育。目前,影子教育获得的量与收益的关系还没有形成定论,因此,尽管家庭所处的阶层越高其获得更多影子教育的可能性就越高,但并不能说明获得的收益就越大。所以,在影子教育的收益中,到底哪个阶层获得的收益最高,需要根据家庭参与影子教育的程度和影子教育的竞争程度,即家庭经济背景和学生个人能力来综合考虑。

家庭经济背景越好,其所处的阶层就相对越高。而较好的经济背景为家庭获得更多的影子教育提供保障,虽然影子教育获得的量与收益的关系尚未明确,但在现实中家庭普遍认为,影子教育获得的量越多其收益就越大。因此,做出如下假设一。

假设一：家庭所处的阶层越高,其参与影子教育的收益就越大。

由上文分析可知,家庭经济背景和学生个人能力在家庭是否参与影子教育的博弈中扮演着重要的角色。但现有的研究对家庭经济背景和学生个人能力哪个是家庭参与影子教育的主导因素,并没有明确的结论。而两者主导性的确定,对家庭参与影子教育博弈时是优先根据家庭经济情况还是学生个人能力考虑是否参与影子教育、参与到何种程度等有着重要的现实意义。影子教育博弈是一种重复博弈,家庭在重复博弈中需要不断地进行投入,以保证在博弈中不被淘汰,因此“投入”成为家庭参与影子教育的动力源泉。因此,做出如下假设二。

假设二：家庭经济背景是家庭参与影子教育博弈的主导性因素,学生个人能力是辅助性因素。

根据上述假设,本文在博弈理论的分析框架下,构建家庭参与影子教育的效用函数,并根据家庭经济背景和学生个人能力两大变量,估算家庭参与影子教育的收益,以此验证假设一的猜想。使用博弈理论“重复博弈”思想,结合影子教育博弈的均衡解,分析家庭经济背景和学生个人能力在影子教育博弈中的主辅作用,以此验证假设二的猜想。

二、影子教育博弈理论模型的构建：谁获得收益

在我国优质教育资源不均衡的现实下,影子教育作为学校主流教育的辅助对优质教育资源发挥着调配的作用。家庭为获得更多的优质教育资源,便更多地将目光投向影子教育,带来家庭间影子教育的博弈。影子教育博弈主要发生在多个家庭间,属于博弈中的群体博弈。这里的群体博弈主要是指将不同经济背景的家庭作为局中人参与影子教育的一种博弈类型。本部分对家庭间影子教育的群体博弈进行博弈策略选择和博弈结果分析,以反映家庭在影子教育机会获得上的博弈结果差异,并根据家庭所处阶层得出不同阶层在影子教育博弈上的收益,从而找出收益最高和最低的阶层。

家庭参与影子教育主要以获取收益为主要目的,因此,效用函数的确定对家庭影子教育博弈模型的构建至关重要。而家庭参与影子教育所获得的效用不仅包括学生学习成绩和学习能力的提升,同时也包括参与影子教育而付出的时间、机会等成本。参与者、行动策略和效用为博弈论的三大要素。因此,影子教育博弈理论模型的构建,需要先对影子教育的参与者、行动策略和效用函数(即收益)三大要素进行确定。家庭参与影子教育博弈的三要素具体如下：

1.参与者：影子教育博弈中的参与者为不同经济背景的家庭。在这里我们根据家庭经济背景的不同,将每个确定经济背景的家庭看成一位参与者。记所有参与者的集合为N={1,2,3,4,…,n}。

2.行动策略：影子教育博弈中的每个参与者的博弈策略选择集合为X=[0,1]。其中“0”表示参与者不参与影子教育,“1”表示参与者全力参与影子教育。参与者i的策略选择值xi∈X。这一指标的衡量以参与者家庭经济背景好差、学生个人能力高低等作为后期模型验证的数据来源。

3.效用函数：当影子教育博弈参与者策略选择的组合为(x1,x2,…,xn)时,参与者i的效用值为fi(x1,x2,…,xn)。

在影子教育的博弈中,家庭获得的效用主要包括两个部分：家庭参与影子教育获得的独立效用；其他家庭参与影子教育获得的效用对其效用带来的影响。具体效用函数如下：

其中fi表示家庭参与影子教育博弈所获得的效用值；ui(xi)表示不存在竞争情况下,参与者i参与影子教育的独立效用；ci表示其他参与者参与影子教育对参与者i效用收益的影响。家庭参与影子教育而获得的独立效用包括正反两个方面：一方面,影子教育可以在一定程度上提高参与者的学习成绩、改善其学习方法、增强其学习能力等,进而提高学生升入重点校和重点班的概率而获得的收益；另一方面,参与者参与影子教育会占用其课外时间带来机会成本、增加家庭的经济负担等。因此,根据效用函数投入和产出的关系以及教育生产函数的视角分析,正反作用对影子教育参与者独立效用的影响不是相加的关系,而是乘积关系,即：

其中ai是影子教育参与者i不参与影子教育时非学习效用的总和(学习效用是指在日常生活和学习中人们经常受到周围人的影响,容易产生从众心理。①《学习效用》,互动百科,2018-03-22：.https：//zhidao.baidu.com/question/107448742.html.因此,在周围的人都参与学习的情况下,自己也会逐渐投入到学习中)。本文的学习效用是指家庭因受到周围参与影子教育这一环境的影响而参与影子教育获得的效用,非学习效用是指家庭不参与影子教育而依靠学生自身能力等获得的独立效用,其主要取决于学生的个人能力,但也受到家庭文化背景、家庭经济背景等因素的影响；bi是影子教育对参与者i非学习效用的消极影响系数。系数ai和bi均为非负实数,从而效用函数满足边际效用递减规律,即边际效用与个人消费欲望的强弱呈正相关,但与消费的数量呈负相关,个人欲望存在一定的极限,并伴随着满足的增加而逐渐降低,此时所获得的边际效用也逐渐降低。因此,家庭参与影子教育所获得的效用与家庭参与影子教育欲望的强烈和程度有着密切的关系。

由上文边际效用函数的分析可知,影子教育博弈对参与者i的影响取决于影子教育竞争的激烈程度以及参与者参与影子教育的程度。影子教育竞争的激烈程度,与家庭参与影子教育的欲望有着密切的关系,家庭参与影子教育的欲望越强烈,影子教育竞争的程度就越激烈。家庭参与影子教育的欲望又取决于学生个人能力,学生个人能力越强家庭参与影子教育的欲望就越强烈,究其原因：对于较差经济背景家庭而言,学生个人能力强家庭便会通过影子教育的参与保持学生的个人能力,以防止被他人超越,是一种防御型参与；对于经济背景较好的家庭而言,学生个人能力强家庭亦会积极通过影子教育来保持自身的优势,是一种主动型参与。已有研究认为家庭对子女教育期望的强弱是影响其参与影子教育的内在因素,①葛洋娟、徐玲、张淑娟：《中小学生家庭背景性资本对其参加课外补习的影响研究——以内蒙古赤峰市为例》,《基础教育》2016年第2期。且根据薛海平、胡咏梅等使用中国人民大学教育追踪调查数据(CEPS2014)、PISA2012数据以及本文关于家庭经济背景与影子教育参与率的关系分析等表明,家庭的经济背景越高学生参与影子教育的比例就越高,②薛海平：《家庭资本与教育获得：影子教育的视角》,《教育科学研究》2017年第2期。③胡咏梅、范文凤、丁维莉：《影子教育是否扩大教育结果的不均等——基于PISA2012上海数据的经验研究》,《北京大学教育评论》2015第3期。因此,影子教育竞争的激烈程度一定程度上可以通过学生个人能力的强弱来表示；家庭参与影子教育的程度,取决于家庭对影子教育的投入,可以使用家庭的经济背景来表示。因此,其他家庭对参与者影子教育获得效用的影响模型,如下所示：

该模型与博弈论中古诺寡头博弈模型具有相似类型形式,但该模型中交叉项的系数为非负数eji。其中eji表示参与者j参与影子教育对参与者i造成的不利影响,比如成绩良好的学生参与影子教育对成绩优秀的学生造成一定不利影响的系数要大于其对成绩合格学生带来不利影响的系数。所以影响系数均为正值,即我们假设其他参与者参加影子教育只会对参与者i产生不利影响,同时注意当参与者i不参与影子教育时(xi=0),竞争对其造成的不利影响最大,而当参与者i完全参与影子教育时(xi=1),不存在竞争的不利影响。

综上分析,参与者i参与影子教育的效用函数,如下所示：

由家庭参与影子教育的效用函数模型可知,当影子教育博弈的竞争强度越高、影子教育的参与度越大时,参与者i的效用就越低。由于学生个人能力和家庭经济背景可以在一定程度上衡量影子教育的竞争强度和参与程度,因此,当学生个人能力强、家庭经济背景好时,家庭参与影子教育的收益相对较低；当学生个人能力低、家庭经济背景差时,家庭参与影子教育的收益相对较高,但这类家庭因为经济条件的限制,在影子教育的重复博弈中被迫退出影子教育,因而最终获得影子教育的量较少；当学生个人能力高、家庭经济背景差和学生个人能力低、家庭经济背景好这两类家庭在ci的取值上较为相似,但后者在实际影子教育参与上具有更大的持续力,因此,前者将会在后续的影子教育博弈中先行退出。因此,学生个人能力弱、家庭经济背景差的低产阶层参与影子教育所获得的收益最高,而学生个人能力强、家庭经济背景好的高产阶层参与影子教育的收益最低。这一分析结果与李佳丽等使用中国基础教育质量监测协同创新中心提供的中部某省会城市小学2013年和2014年数据得出的结论相一致。④李佳丽、胡咏梅：《谁从影子教育中获益?——兼论影子教育对教育结果均等化的影响》,《教育与经济》2017年第2期。

三、家庭参与影子教育博弈的理论模型分析：收益可否均衡

采用响应函数分析法分析家庭参与影子教育博弈的均衡点,当其他参与者行动策略xj(j≠i)给定时,参与者i的最优行动策略为如下约束优化问题的解：

其中第二个约束为制定的合理性约束,比如若参与者i表示家庭经济背景较好的家庭,则参与者j表示家庭经济背景较差的家庭,那么可以将约束ai≥aj引入A中。由此可知,家庭参与影子教育博弈的效用存在均衡解,而根据均衡解的代入可以得出不同经济背景和个人能力的家庭在影子教育博弈中的最优策略选择,从而估算出四种类型家庭(家庭经济背景好、学生个人能力高；家庭经济背景好、学生个人能力低；家庭经济背景差、学生个人能力高；家庭经济背景差、学生个人能力低)参与影子教育博弈的最佳策略选择,进而进一步提高家庭参与影子教育的收益。

由上文模型的分析结果可知,在影子教育的博弈中家庭经济背景和学生个人能力为模型构建的主要变量,学生个人能力越高家庭参与影子教育的欲望就越强烈,而影子教育的博弈竞争就越激烈；家庭经济背景越好,影子教育的参与程度就越深。因此,对于学生个人能力强、家庭经济背景又好的家庭在影子教育的博弈中占据主导的位置,而影子教育的博弈是一场“持久战”,在重复的博弈中需要以经济不断投入为基础,因此家庭经济背景对影子教育博弈结果的影响,要高于学生个人能力对影子教育博弈结果的影响。

在影子教育的收益上,虽然家庭经济背景差、学生个人能力低的家庭在博弈中要先于其他类型的家庭而退出影子教育,但根据上文的效用函数分析,这类家庭参与影子教育所获得收益要高于家庭经济背景好、学生个人能力高的家庭。主要原因在于前者在有限的经济能力下参与影子教育,尽管这类家庭在影子教育的投入上较少,但学生成绩上升的空间较大,因此,投入和产出的比值就会大于其他类型的家庭。在影子教育的博弈中,家庭经济背景差、学生个人能力低的这类家庭应在自身经济能力承受的范围内参与影子教育,以获得影子教育的高收益,缩小与其他类型家庭的差距；对于经济背景好的家庭,应适当参与影子教育博弈,调整以往“参与越多,收益越多”的观念,只有这样才能在影子教育的博弈中形成一个均衡且各方收益最大化的博弈情景。

四、主要结论与讨论：如何均衡收益

低产阶层家庭参与影子教育的收益最高,高产阶层家庭参与影子教育的收益最低。在影子教育的重复博弈中,家庭参与影子教育所获得的效用,取决影子教育竞争的激烈程度和影子教育的参与程度,即主要受到家庭经济背景和学生个人能力的影响。根据上文效用函数可知,当影子教育的竞争程度和参与程度越高时家庭的效用收益就越低,反之则越高。因此,学生个人能力低、经济背景差的家庭参与影子教育所获的收益要高于学生个人能力高、经济背景好的家庭。究其原因,低产阶层家庭虽然在影子教育的博弈中获得较少的“量”,但其收益比较高,而高产阶层家庭虽然获得的影子教育的“量”多,但其成本也相对较高,因此其收益比较低。所以,在影子教育的博弈中低产阶层的收益最高,高产阶层参与影子教育博弈的收益最低。

家庭经济背景对家庭影子教育的博弈起主导性作用,学生个人能力对家庭影子教育的博弈起催化剂作用。由上文可知,影子教育的博弈是一种重复博弈,而家庭经济背景是家庭影子教育重复博弈的驱动,对影子教育机会的获得发挥着主导性作用。学生个人能力影响家庭参与影子教育欲望的强烈,学生个人能力强家庭参与影子教育的欲望就越强,学生个人能力弱家庭参与影子教育教育的欲望就弱。但在现实中也存在学生个人能力弱、家庭参与影子教育欲望强烈的现象,这一现象主要发生在家庭经济背景好的中产阶层和高产阶层中,这类家庭有着较好的经济基础,有提升学生个人能力的经济实力。因此,家庭经济背景的好差对影子教育机会的获得起主导性作用,这一作用折射出家庭经济背景等因素通过影子教育影响着教育资源的分配,且带来优质教育向高产阶层倾斜,从而不利于教育公平的实现和社会阶层的流动。而家庭参与影子教育博弈的另一个重要因素——学生的个人能力,在整个影子教育的博弈中只起着催化剂的作用,它的高低只影响着家庭参与影子教育欲望的高低,而不能决定家庭是否参与影子教育或者在影子教育的重复博弈中取胜。

家庭影子教育博弈结果的不均衡,加剧了教育资源的分配不公。由上文可知,家庭经济背景与影子教育机会获得呈正相关,且经济背景好的家庭占据着影子教育博弈的主导位置,在影子教育的重复的博弈中低产阶层最先被淘汰,这很好地说明了影子教育对教育公平产生的影响。家庭在进行影子教育机会获得的博弈时,处于家庭背景不利地位的学生获得影子教育的机会要低于家庭背景较好的家庭。因此,家庭间影子教育的竞争,使更多的教育资源流向家庭经济背景较好的一方,导致教育资源分配的不公。对此,政府应加快建设影子教育机构的评价体系,加强政策监督和制度引导,进一步规范补习市场,对经济背景差且学生能力低的家庭增加相应补助；学校应建立学习上的帮扶政策,确保该类学生获得均衡的教育资源；教育机关应加快基础教育供给侧改革,提高供给端的教育质量、教师素养和教育经费的使用效率,保证学生的受教育机会均等化。

教育作为促进阶层流动的工具,而今在家庭经济背景等因素影响下却扮演着社会不公平和阶层复制的角色,①吴重涵、张俊、王梅雾：《是什么阻碍了家长对子女教育的参与——阶层差异、学校选择性抑制与家长参与》,《教育研究》2017年第1期。这一现象一定程度上加剧了阶层的固化。而高产阶层家庭又依靠自身经济背景等优势,通过影子教育获取更多的教育资源拉大教育不公平,加剧社会阶层的固化,因此,低产阶层处在教育机会获得的双不利位置。上文分析得出低产阶层参与影子教育的收益最大,但因自身经济能力有限,其获得的影子教育的量较少。政府教育机关应通过发放补习劵等形式,让更多的低产阶层参与到影子教育中,以缩小因影子教育而带来的阶层间教育获得的差距。同时,高产阶层在影子教育的博弈中处在主导的位置,政府、学校等部门应加大在高产阶层中的宣传力度,让高产阶层意识到自身参与影子教育的实际收益情况,达到降低高产阶层影子教育参与率的目的。只有双管齐下,一方面增加低产阶层影子教育的收益,一方面降低高产阶层影子教育的参与率,才能使影子教育的博弈逐渐走向均衡,提升整个社会影子教育的收益,使影子教育更加符合教育发展规律,对社会经济和教育发展发挥更大的积极作用。